Recently, Brezis, Van Schaftingen and the second author [4] established a new formula for the ${\dot{W}}^{1,p}$ norm of a function in $C_c^{\infty }({\mathbb{R}}^N)$. The formula was obtained by replacing the $L^p({\mathbb{R}}^{2N})$ norm in the Gagliardo semi-norm for ${\dot{W}}^{s,p}({\mathbb{R}}^N)$ with a weak-$L^p({\mathbb{R}}^{2N})$ quasi-norm and setting $s=1$. This provides a characterization of such ${\dot{W}}^{1,p}$ norms, which complements the celebrated Bourgain-Brezis-Mironescu (BBM) formula [1]. In this paper, we obtain an analog for the case $s=0$. In particular, we present a new formula for the $L^p$ norm of any function in $L^p({\mathbb{R}}^N)$, which involves only the measures of suitable level sets, but no integration. This provides a characterization of the norm on $L^p({\mathbb{R}}^N)$, which complements a formula by Maz′ya and Shaposhnikova [12]. As a result, by interpolation, we obtain a new embedding of the Triebel-Lizorkin space $F_2^{s,p}({\mathbb{R}}^N)$ (i.e. the Bessel potential space ${(I-\mathrm{\Delta })}^{-s/2}{L}^p({\mathbb{R}}^N)$), as well as its homogeneous counterpart ${\dot{F}}_2^{s,p}({\mathbb{R}}^N)$, for $s\in (0,1)$, $p\in (1,\infty )$.

最近，Brezis，Van Schaftingen和第二作者[4]建立了新的公式 ${\dot{\mathrm{w\; ^}}}^{\mathrm{1个}，p}$ 功能的规范 $C_C^{\infty }（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$。该公式是通过替换${\mathrm{大号}}^p（{\mathbb{[R}}^{\mathrm{2个}ñ}）$ Gagliardo半范数中的范数 ${\dot{\mathrm{w\; ^}}}^{s，p}（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$ 用弱${\mathrm{大号}}^p（{\mathbb{[R}}^{\mathrm{2个}ñ}）$ 准规范和设定 $s=\mathrm{1个}$。这提供了这样的特征${\dot{\mathrm{w\; ^}}}^{\mathrm{1个}，p}$规范，这是对著名的布尔加斯-布列兹-米罗涅斯库（BBM）公式的补充[1]。在本文中，我们获得了一个类似的案例$s=0$。特别是，我们为${\mathrm{大号}}^p$ 在任何功能的规范 ${\mathrm{大号}}^p（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$，它仅涉及适当级别集的度量，而没有积分。这提供了规范上的特征${\mathrm{大号}}^p（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$，这是对Maz'ya和Shaposhnikova [12]公式的补充。结果，通过插值，我们获得了Triebel-Lizorkin空间的新嵌入$F_{\mathrm{2个}}^{s，p}（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$ （即贝塞尔潜在空间 ${（\mathrm{一世}-\mathrm{\Delta }）}^{-s/\mathrm{2个}}{\mathrm{大号}}^p（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$），以及同类同类产品 ${\dot{F}}_{\mathrm{2个}}^{s，p}（{\mathbb{[R}}^{ñ}）$， 为了 $s\in （0，\mathrm{1个}）$， $p\in （\mathrm{1个}，\infty ）$。