We say that property (S) holds for $(G,K)$ if the spherical transform maps the bi-$K$-invariant Schwartz space $\mathcal S(K\backslash G/K)$ isomorphically onto $\mathcal S(\Sigma)$, the space of restrictions to $\Sigma$ of the Schwartz functions on $\mathbb R^\ell$. This property is known to hold for many nilpotent pairs, i.e., Gelfand pairs where $G=K\ltimes N$, with $N$ nilpotent.

In this paper we enlarge the scope of this analysis outside the range of nilpotent pairs, stating the basic setting for general pairs of polynomial growth and then focussing on strong Gelfand pairs.

我们说如果球面变换将双$ K $不变Schwartz空间$ \ mathcal S（K \反斜杠G / K）$同构映射到$ \ mathcal S上，则属性（S）对于$（G，K）$成立。 （\ Sigma）$，Schwartz函数在$ \ mathbb R ^ \ ell $上对$ \ Sigma $的限制空间。已知此属性可用于许多幂对，即Gelfand对，其中$ G = K \ l乘以N $，而$ N $为幂。

在本文中，我们将分析的范围扩大到幂等对的范围之外，阐述了多项式增长的一般对的基本设置，然后重点介绍了强Gelfand对。