We prove, that for each $r\in \mathbb{N}$, $n\in \mathbb{N}$ and $s\in \mathbb{N}$ there are a collection ${\left\{y_i\right\}}_{i=1}^{2s}$ of points $y_{2s}<y_{2s-1}<\cdots <y_1<y_{2s}+2\pi ≕y_0$ and a $2\pi$ - periodic function $f\in C^{\left(\infty \right)}\left(\mathbb{R}\right)$, such that (1)$f^{\prime \prime }\left(t\right)\prod _{i=1}^{2s}(t-y_i)\ge 0,t\in [y_{2s},y_0],$and for each trigonometric polynomial $T_n$ of degree $\le n$ (of order $\le 2n+1$), satisfying (2)$T_n^{\prime \prime }\left(t\right)\prod _{i=1}^{2s}(t-y_i)\ge 0,t\in [y_{2s},y_0],$the inequality $n^{r-1}{\Vert f-T_n\Vert }_{C\left(\mathbb{R}\right)}\ge c_r{\Vert f^{\left(r\right)}\Vert }_{C\left(\mathbb{R}\right)}$holds, where $c_r>0$ is a constant, depending only on $r$. Moreover, we prove, that for each $r=0,1,2$ and any such collection ${\left\{y_i\right\}}_{i=1}^{2s}$ there is a $2\pi$ - periodic function $f\in C^{\left(r\right)}\left(\mathbb{R}\right)$, such that ${(-1)}^{i-1}f$ is convex on $[y_i,y_{i-1}]$, $1\le i\le 2s$, and, for each sequence ${\left\{T_n\right\}}_{n=0}^{\infty }$ of trigonometric polynomials $T_n$, satisfying (2), we have $\underset{n\to \infty }{lim\; sup}\frac{n^r{\Vert f-T_n\Vert }_{C\left(\mathbb{R}\right)}}{{\omega }_4(f^{\left(r\right)},1∕n)}=+\infty ,$where ${\omega }_4$ is the fourth modulus of continuity.

我们证明，对于每个 $\mathrm{[R}\in \mathbb{ñ}$， $ñ\in \mathbb{ñ}$ 和 $s\in \mathbb{ñ}$ 有一个收藏 ${\left\{{ÿ}_{\mathrm{一世}}\right\}}_{\mathrm{一世}=\mathrm{1个}}^{\mathrm{2个}s}$ 点数 ${ÿ}_{\mathrm{2个}s}<{ÿ}_{\mathrm{2个}s-\mathrm{1个}}<\cdots <{ÿ}_{\mathrm{1个}}<{ÿ}_{\mathrm{2个}s}+\mathrm{2个}\pi ≕{ÿ}_0$ 和一个 $\mathrm{2个}\pi$ -周期性功能 $F\in C^{（\infty ）}（\mathbb{[R}）$，使（1）$F^{\prime \prime }（Ť）\prod _{\mathrm{一世}=\mathrm{1个}}^{\mathrm{2个}s}（Ť-{ÿ}_{\mathrm{一世}}）\ge 0，Ť\in [{ÿ}_{\mathrm{2个}s}，{ÿ}_0]，$对于每个三角多项式 ${Ť}_{ñ}$ 度 $\le ñ$ （顺序 $\le \mathrm{2个}ñ+\mathrm{1个}$），满足（2）${Ť}_{ñ}^{\prime \prime }（Ť）\prod _{\mathrm{一世}=\mathrm{1个}}^{\mathrm{2个}s}（Ť-{ÿ}_{\mathrm{一世}}）\ge 0，Ť\in [{ÿ}_{\mathrm{2个}s}，{ÿ}_0]，$不平等 ${ñ}^{\mathrm{[R}-\mathrm{1个}}{\Vert F-{Ť}_{ñ}\Vert }_{C（\mathbb{[R}）}\ge C_{\mathrm{[R}}{\Vert F^{（\mathrm{[R}）}\Vert }_{C（\mathbb{[R}）}$持有，在哪里 $C_{\mathrm{[R}}>0$ 是一个常数，仅取决于 $\mathrm{[R}$。而且，我们证明，对于每个$\mathrm{[R}=0，\mathrm{1个}，\mathrm{2个}$ 以及任何此类收藏 ${\left\{{ÿ}_{\mathrm{一世}}\right\}}_{\mathrm{一世}=\mathrm{1个}}^{\mathrm{2个}s}$ 有一个 $\mathrm{2个}\pi$ -周期性功能 $F\in C^{（\mathrm{[R}）}（\mathbb{[R}）$，这样 ${（-\mathrm{1个}）}^{\mathrm{一世}-\mathrm{1个}}F$ 凸在 $[{ÿ}_{\mathrm{一世}}，{ÿ}_{\mathrm{一世}-\mathrm{1个}}]$， $\mathrm{1个}\le \mathrm{一世}\le \mathrm{2个}s$，并且，对于每个序列 ${\left\{{Ť}_{ñ}\right\}}_{ñ=0}^{\infty }$ 三角多项式 ${Ť}_{ñ}$，满足（2），我们有 $\underset{ñ\to \infty }{lim\; sup}\frac{{ñ}^{\mathrm{[R}}{\Vert F-{Ť}_{ñ}\Vert }_{C（\mathbb{[R}）}}{{\omega }_4（F^{（\mathrm{[R}）}，\mathrm{1个}∕ñ）}=+\infty ，$在哪里 ${\omega }_4$ 是第四连续模数。