We study the dynamics of a droplet moving on an inclined rough surface in the absence of inertial and viscous stress effects. In this case, the dynamics of the droplet is a purely geometric motion in terms of the wetting domain and the capillary surface. Using a single graph representation, we interpret this geometric motion as a gradient flow on a manifold. We propose unconditionally stable first/second order numerical schemes to simulate this geometric motion of the droplet, which is described using motion by mean curvature coupled with moving contact lines. The schemes are based on (i) explicit moving boundaries, which decouple the dynamic updates of the contact lines and the capillary surface, (ii) an arbitrary Lagrangian–Eulerian method on moving grids and (iii) a predictor-corrector method with a nonlinear elliptic solver up to second order accuracy. For the case of quasi-static dynamics with continuous spatial variable in the numerical schemes, we prove the stability and convergence of the first/second order numerical schemes. To demonstrate the accuracy and long-time validation of the proposed schemes, several challenging computational examples – including breathing droplets, droplets on inhomogeneous rough surfaces and quasi-static Kelvin pendant droplets – are constructed and compared with exact solutions to quasi-static dynamics obtained by desingularized differential-algebraic system of equations (DAEs).

中文翻译：

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粗糙表面上平均曲率和接触线动力学的梯度运动公式和二阶数值方法

我们研究了在没有惯性和粘性应力影响的情况下，液滴在倾斜的粗糙表面上运动的动力学。在这种情况下，液滴的动力学就润湿域和毛细管表面而言是纯粹的几何运动。使用单个图形表示，我们将此几何运动解释为流形上的梯度流。我们提出了无条件稳定的一阶/二阶数值方案来模拟液滴的这种几何运动，该运动是通过平均曲率与运动的接触线耦合使用运动来描述的。这些方案基于（i）明确的移动边界，该边界将接触线和毛细管表面的动态更新解耦，（ii）移动网格上的任意Lagrangian-Eulerian方法，以及（iii）具有非线性椭圆求解器的预测器-校正器方法，精度达到二阶。对于数值方案中具有连续空间变量的准静态动力学情况，我们证明了一阶/二阶数值方案的稳定性和收敛性。为了证明所提出方案的准确性和长期验证性，构建了一些具有挑战性的计算示例，包括呼吸液滴，非均匀粗糙表面上的液滴以及准静态开尔文悬垂液滴，并将其与通过以下方法获得的准静态动力学的精确解进行了比较：异化的微分代数方程组（DAE）。我们证明了一阶/二阶数值格式的稳定性和收敛性。为了证明所提出方案的准确性和长期验证性，构建了一些具有挑战性的计算示例，包括呼吸液滴，非均匀粗糙表面上的液滴以及准静态开尔文悬垂液滴，并将其与通过以下方法获得的准静态动力学的精确解进行了比较：异化的微分代数方程组（DAE）。我们证明了一阶/二阶数值格式的稳定性和收敛性。为了证明所提出方案的准确性和长期验证性，构建了一些具有挑战性的计算示例，包括呼吸液滴，非均匀粗糙表面上的液滴以及准静态开尔文悬垂液滴，并将其与通过以下方法获得的准静态动力学的精确解进行了比较：异化的微分代数方程组（DAE）。