We consider the model $Y=X+\xi$ where $Y$ is observable, $\xi$ is a noise random variable with density $f_{\xi }$, $X$ has an unknown mixed density such that $\mathbb{P}(X=X_c)=1-p$, $\mathbb{P}(X=a)=p$ with $X_c$ being continuous and $p\in (0,1)$, $a\in \mathbb{R}$. Typically, in the last decade, the model has been widely considered in a number of papers for the case of fully known quantities $a,f_{\xi }$. In this paper, we relax the assumptions and consider the parametric error $\xi \sim \sigma N(0,1)$ with an unknown $\sigma >0$. From i.i.d. copies $Y_1,\dots ,Y_m$ of $Y$ we will estimate $(\sigma ,p,a,f_{X_c})$ where $f_{X_c}$ is the density of $X_c$. We also find the lower bound of convergence rate and verify the minimax property of established estimators.

我们考虑模型 $ÿ=X+\xi$ 在哪里 $ÿ$ 是可以观察到的 $\xi$ 是具有密度的噪声随机变量 $F_{\xi }$， $X$ 具有未知的混合密度，使得 $\mathbb{P}（X=X_C）=\mathrm{1个}-p$， $\mathbb{P}（X=\mathrm{一种}）=p$ 和 $X_C$ 持续不断 $p\in （0，\mathrm{1个}）$， $\mathrm{一种}\in \mathbb{[R}$。通常，在过去的十年中，对于数量完全已知的情况，该模型已在许多论文中得到了广泛的考虑。$\mathrm{一种}，F_{\xi }$。在本文中，我们放宽假设并考虑参数误差$\xi 〜\sigma ñ（0，\mathrm{1个}）$ 未知 $\sigma >0$。来自iid副本${ÿ}_{\mathrm{1个}}，\dots ，{ÿ}_{米}$ 的 $ÿ$ 我们将估计 $（\sigma ，p，\mathrm{一种}，F_{X_C}）$ 在哪里 $F_{X_C}$ 是的密度 $X_C$。我们还找到收敛速度的下界，并验证已建立估计量的minimax属性。