In this work, we review the framework of the Virtual Element Method (VEM) for a model in magneto-hydrodynamics (MHD), that incorporates a coupling between electromagnetics and fluid flow, and allows us to construct novel discretizations for simulating realistic phenomenon in MHD. First, we study two chains of spaces approximating the electromagnetic and fluid flow components of the model. Then, we show that this VEM approximation will yield divergence free discrete magnetic fields, an important property in any simulation in MHD. We present a linearization strategy to solve the VEM approximation which respects the divergence free condition on the magnetic field. This linearization will require that, at each non-linear iteration, a linear system be solved. We study these linear systems and show that they represent well-posed saddle point problems. We conclude by presenting numerical experiments exploring the performance of the VEM applied to the subsystem describing the electromagnetics. The first set of experiments provide evidence regarding the speed of convergence of the method as well as the divergence-free condition on the magnetic field. In the second set we present a model for magnetic reconnection in a mesh that includes a series of hanging nodes, which we use to calibrate the resolution of the method. The magnetic reconnection phenomenon happens near the center of the domain where the mesh resolution is finer and high resolution is achieved.

中文翻译：

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磁流体动力学耦合系统的虚拟元法

在这项工作中，我们回顾了磁流体动力学（MHD）模型的虚拟元素方法（VEM）的框架，该模型结合了电磁学和流体流动之间的耦合，并允许我们构造新颖的离散化来模拟MHD中的现实现象。 。首先，我们研究了两个空间链，它们近似于模型的电磁和流体流动分量。然后，我们证明了这种VEM近似将产生无散度的离散磁场，这是MHD中任何模拟的重要属性。我们提出了一种线性化策略来解决VEM近似问题，该近似问题考虑了磁场中的无散度条件。这种线性化将需要在每个非线性迭代中求解一个线性系统。我们研究了这些线性系统，并表明它们代表了适定的鞍点问题。我们通过提出数值实验来得出结论，这些实验探索了应用于描述电磁学的子系统的VEM的性能。第一组实验提供了关于该方法收敛速度以及磁场无散度条件的证据。在第二组中，我们提出了一种用于网格中磁重连接的模型，该模型包括一系列悬挂节点，我们可以使用该模型来校准该方法的分辨率。磁重新连接现象发生在网状分辨率更高且可实现高分辨率的磁畴中心附近。第一组实验提供了关于该方法收敛速度以及磁场无散度条件的证据。在第二组中，我们提出了一种用于网格中磁重连接的模型，该模型包括一系列悬挂节点，我们可以使用该模型来校准该方法的分辨率。磁重新连接现象发生在网状分辨率更高且可实现高分辨率的磁畴中心附近。第一组实验提供了关于该方法收敛速度以及磁场无散度条件的证据。在第二组中，我们提出了一种用于网格中磁重连接的模型，该模型包括一系列悬挂节点，我们可以使用该模型来校准该方法的分辨率。磁重新连接现象发生在网状分辨率更高且可实现高分辨率的磁畴中心附近。