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Characterizations of the symmetrized polydisc via another family of domains
International Journal of Mathematics ( IF 0.604 ) Pub Date : 2021-04-10 , DOI: 10.1142/s0129167x21500361
Sourav Pal, Samriddho Roy

We find new characterizations for the points in the symmetrized polydisc𝔾n, a family of domains associated with the spectral interpolation, defined by 𝔾n:=1inzi,1i<jnzizj,,i=1nzi:|zi|<1,i=1,,n. We introduce a new family of domains which we call the extended symmetrized polydisc𝔾̃n, and define in the following way: 𝔾̃n:=(y1,,yn1,q)n:q𝔻,yj=βj+β̄njq,βjand|βj|+|βnj|<nj,forj=1,,n1. We show that 𝔾n=𝔾̃n for n=1,2 and that 𝔾n𝔾̃n for n3. We first obtain a variety of characterizations for the points in 𝔾̃n and we apply these necessary and sufficient conditions to produce an analogous set of characterizations for the points in 𝔾n. Also, we obtain similar characterizations for the points in Γn𝔾n, where Γn=𝔾n¯. A set of n1 fractional linear transformations plays central role in the entire program. We also show that for n2, 𝔾̃n is nonconvex but polynomially convex and is starlike about the origin but not circled.



中文翻译:

通过另一个域家族表征对称多盘

我们发现对称多盘中点的新特征𝔾n,与频谱插值相关的域族,定义为 𝔾n=1一世nz一世,1一世<jnz一世zj,,一世=1nz一世|z一世|<1,一世=1,,n.我们引入了一个新的域家族,我们称之为扩展对称多盘𝔾̃n,并按以下方式定义: 𝔾̃n=(1,,n-1,q)nq𝔻,j=βj+β̄n-jq,βj|βj|+|βn-j|<nj,为了j=1,,n-1. 我们证明 𝔾n=𝔾̃n 为了 n=1,2 然后 𝔾n𝔾̃n 为了 n3. 我们首先对中的点获得各种表征𝔾̃n 并且我们应用这些必要和充分条件来为 中的点产生一组类似的特征 𝔾n. 此外,我们对中的点获得了类似的特征Γn𝔾n, 在哪里 Γn=𝔾n¯. 一套n-1分数线性变换在整个程序中起着核心作用。我们还表明对于n2, 𝔾̃n 是非凸的但多项式凸的,关于原点是星状的,但没有被圈起来。

更新日期:2021-06-10
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