The purpose of this article is to study the relationship between numerical invariants of certain subspace arrangements coming from reflection groups and numerical invariants arising in the representation theory of Cherednik algebras. For instance, we observe that knowledge of the equivariant graded Betti numbers (in the sense of commutative algebra) of any irreducible representation in category ${\mathscr{O}}$ is equivalent to knowledge of the Kazhdan–Lusztig character of the irreducible object (we use this observation in joint work with Fishel–Manosalva). We then explore the extent to which Cherednik algebra techniques may be applied to ideals of linear subspace arrangements: we determine when the radical of the polynomial representation of the Cherednik algebra is a radical ideal and, for the cyclotomic rational Cherednik algebra, determine the socle of the polynomial representation and characterize when it is a radical ideal. The subspace arrangements that arise include various generalizations of the $k$-equals arrangement. In the case of the radical, we apply our results with Juteau together with an idea of Etingof–Gorsky–Losev to observe that the quotient is Cohen–Macaulay for positive choices of parameters. In the case of the socle (in cyclotomic type), we give an explicit vector space basis in terms of certain specializations of nonsymmetric Jack polynomials, which in particular determines its minimal generators and Hilbert series and answers a question posed by Feigin and Shramov.

中文翻译：

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子空间安排和 Cherednik 代数

本文的目的是研究来自反射群的某些子空间排列的数值不变量与 Cherednik 代数表示论中产生的数值不变量之间的关系。例如，我们观察到对 ${\mathscr{O}}$ 类别中任何不可约表示的等变分级 Betti 数（在交换代数的意义上）的知识等价于对不可约对象的 Kazhdan-Lusztig 特征的知识（我们在与 Fishel-Manosalva 的联合工作中使用了这一观察结果）。然后我们探讨 Cherednik 代数技术在多大程度上可以应用于线性子空间安排的理想：我们确定 Cherednik 代数的多项式表示的根何时是根理想，对于分圆有理 Cherednik 代数，确定多项式表示的集合，并在它是激进理想时对其进行表征。出现的子空间安排包括$k$-equals 安排的各种推广。在激进的情况下，我们将 Juteau 的结果与 Etingof-Gorsky-Losev 的想法一起应用，以观察商是 Cohen-Macaulay 的积极选择参数。在 socle（分圆类型）的情况下，我们根据非对称 Jack 多项式的某些特化给出明确的向量空间基，它特别确定了它的最小生成元和希尔伯特级数，并回答了 Feigin 和 Shramov 提出的问题。在激进的情况下，我们将 Juteau 的结果与 Etingof-Gorsky-Losev 的想法一起应用，以观察商是 Cohen-Macaulay 的积极选择参数。在 socle（分圆类型）的情况下，我们根据非对称 Jack 多项式的某些特化给出明确的向量空间基，它特别确定了它的最小生成元和希尔伯特级数，并回答了 Feigin 和 Shramov 提出的问题。在激进的情况下，我们将 Juteau 的结果与 Etingof-Gorsky-Losev 的想法一起应用，以观察商是 Cohen-Macaulay 的积极选择参数。在 socle（分圆类型）的情况下，我们根据非对称 Jack 多项式的某些特化给出明确的向量空间基，它特别确定了它的最小生成元和希尔伯特级数，并回答了 Feigin 和 Shramov 提出的问题。