Let $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_n z^n$ be a formal power series with complex coefficients. Let $({\mathcal{R}} f)(z)= \sum _{n=0}^{\infty }\pm a_n z^n$ be the randomization of $f$ by choosing independently a random sign for each coefficient. Let $H^p({\mathbb{D}})$ and $L^p_a({\mathbb{D}})$ $(p>0)$ denote the Hardy space and the Bergman space, respectively, over the unit disk in the complex plane. In 1930, Littlewood proved that if $f \in H^2({\mathbb{D}})$, then ${\mathcal{R}} f \in H^p({\mathbb{D}})$ for any $p \in (0, \infty )$ almost surely, and if $f \notin H^2({\mathbb{D}})$, then ${\mathcal{R}} f \notin H^p({\mathbb{D}})$ for any $p \in (0, \infty )$ almost surely. In this paper, we obtain a characterization of the pairs $(p, q) \in (0, \infty )^2$ such that ${\mathcal{R}} f$ is almost surely in $L^q_a({\mathbb{D}})$ whenever $f \in L^p_a({\mathbb{D}})$, including counterexamples to show the optimality of the embedding. In contrast to Littlewood’s theorem, random Bergman functions exhibit no improvement of regularity for any $p>0$, but the loss of regularity for $p<2$ is not as drastic as the Hardy case; there is indeed a nontrivial boundary curve given by $\frac{1}{q}-\frac{2}{p}+\frac{1}{2}=0$. Several other results about random Bergman functions are established along the way. The technical difficulties, especially when $p<1$, are different from the Hardy space and we devise a different route of proof. The Dirichlet space follows as a corollary. An improvement of the original Littlewood theorem is obtained.

中文翻译：

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随机 Bergman 函数的 Littlewood 型定理

令 $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_n z^n$ 是具有复系数的形式幂级数。令 $({\mathcal{R}} f)(z)= \sum _{n=0}^{\infty }\pm a_n z^n$ 是 $f$ 的随机化，通过独立选择一个随机符号每个系数。令 $H^p({\mathbb{D}})$ 和 $L^p_a({\mathbb{D}})$ $(p>0)$ 分别表示 Hardy 空间和 Bergman 空间，在复平面上的单位圆盘。1930 年，Littlewood 证明了如果 $f \in H^2({\mathbb{D}})$，那么 ${\mathcal{R}} f \in H^p({\mathbb{D}})$对于任何 $p \in (0, \infty )$ 几乎肯定，如果 $f \notin H^2({\mathbb{D}})$，那么 ${\mathcal{R}} f \notin H^ p({\mathbb{D}})$ 对于任何 $p \in (0, \infty )$ 几乎肯定。在本文中，我们获得了对 $(p, q) \in (0, \infty )^2$ 使得 ${\mathcal{R}} f$ 几乎肯定在 $L^q_a({\mathbb{D}})$ 中，只要 $f \in L^p_a({\mathbb{D }})$，包括反例以显示嵌入的最优性。与 Littlewood 定理相反，随机 Bergman 函数对于任何 $p>0$ 都没有表现出规律性的改进，但是对于 $p<2$，规律性的损失并不像 Hardy 的情况那么严重；确实存在由 $\frac{1}{q}-\frac{2}{p}+\frac{1}{2}=0$ 给出的非平凡边界曲线。沿途建立了一些关于随机伯格曼函数的其他结果。技术困难，特别是当 $p<1$ 时，与哈代空间不同，我们设计了不同的证明途径。狄利克雷空间作为推论遵循。得到了原始 Littlewood 定理的改进。包括反例以显示嵌入的最优性。与 Littlewood 定理相反，随机 Bergman 函数对于任何 $p>0$ 都没有表现出规律性的改进，但是对于 $p<2$，规律性的损失并不像 Hardy 的情况那么严重；确实存在由 $\frac{1}{q}-\frac{2}{p}+\frac{1}{2}=0$ 给出的非平凡边界曲线。沿途建立了一些关于随机伯格曼函数的其他结果。技术困难，特别是当 $p<1$ 时，与哈代空间不同，我们设计了不同的证明途径。狄利克雷空间作为推论遵循。得到了原始 Littlewood 定理的改进。包括反例以显示嵌入的最优性。与 Littlewood 定理相反，随机 Bergman 函数对于任何 $p>0$ 都没有表现出规律性的改进，但是对于 $p<2$，规律性的损失并不像 Hardy 的情况那么严重；确实存在由 $\frac{1}{q}-\frac{2}{p}+\frac{1}{2}=0$ 给出的非平凡边界曲线。沿途建立了一些关于随机伯格曼函数的其他结果。技术困难，特别是当 $p<1$ 时，与哈代空间不同，我们设计了不同的证明途径。狄利克雷空间作为推论遵循。得到了原始 Littlewood 定理的改进。但是 $p<2$ 的规律性损失并不像 Hardy 案例那么严重；确实存在由 $\frac{1}{q}-\frac{2}{p}+\frac{1}{2}=0$ 给出的非平凡边界曲线。沿途建立了一些关于随机伯格曼函数的其他结果。技术困难，特别是当 $p<1$ 时，与哈代空间不同，我们设计了不同的证明途径。狄利克雷空间作为推论遵循。得到了原始 Littlewood 定理的改进。但是 $p<2$ 的规律性损失并不像 Hardy 案例那么严重；确实存在由 $\frac{1}{q}-\frac{2}{p}+\frac{1}{2}=0$ 给出的非平凡边界曲线。沿途建立了一些关于随机伯格曼函数的其他结果。技术困难，特别是当 $p<1$ 时，与哈代空间不同，我们设计了不同的证明途径。狄利克雷空间作为推论遵循。得到了原始 Littlewood 定理的改进。与哈代空间不同，我们设计了不同的证明途径。狄利克雷空间作为推论遵循。得到了原始 Littlewood 定理的改进。与哈代空间不同，我们设计了不同的证明途径。狄利克雷空间作为推论遵循。得到了原始 Littlewood 定理的改进。