In this paper we determine the number and typical structure of sets of integers with bounded doubling. In particular, improving recent results of Green and Morris, and of Mazur, we show that the following holds for every fixed $\lambda> 2$ and every $k \geqslant (\log n)^4$: if $\omega \rightarrow \infty $ as $n \rightarrow \infty $ (arbitrarily slowly), then almost all sets $A \subset [n]$ with $|A| = k$ and $|A + A| \leqslant \lambda k$ are contained in an arithmetic progression of length $\lambda k/2 + \omega $.

中文翻译：

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小和集的典型结构

在本文中，我们确定了有界加倍整数集的数量和典型结构。特别是，改进了 Green 和 Morris 以及 Mazur 的最近结果，我们证明以下对于每个固定的 $\lambda> 都成立。2$ 和每 $k \geqslant (\log n)^4$: 如果 $\omega \rightarrow \infty $ 为 $n \rightarrow \infty $ (任意慢)，那么几乎所有集合 $A \subset [n] $ 与 $|A| = k$ 和 $|A + A| \leqslant \lambda k$ 包含在长度为 $\lambda k/2 + \omega $ 的算术级数中。