We give a new proof of Aubin’s improvement of the Sobolev inequality on $ \mathbb{S}^{n}$ under the vanishing of 1st-order moments of the area element and generalize it to higher-order moments case. By careful study of an extremal problem on $\mathbb{S}^{n}$, we determine the constant explicitly in the 2nd-order moments case.

中文翻译：

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约束下改进的 Sobolev 不等式

我们给出了 Aubin 在面积元一阶矩消失的情况下改进了 $ \mathbb{S}^{n}$ 上的 Sobolev 不等式的新证明，并将其推广到高阶矩的情况。通过仔细研究 $\mathbb{S}^{n}$ 上的一个极值问题，我们明确地确定了二阶矩情况下的常数。