Let p be an odd prime. By using the elementary methods we prove that: (1) if 2 ∤ x, p = ±3 (mod 8), the Diophantine equation (2^x − 1)(p^y − 1) = 2z² has no positive integer solution except when p = 3 or p is of the form \(p = 2a_0^2 + 1\), where a₀ > 1 is an odd positive integer. (2) if 2 ∤ x, 2 ∣; y, y ≠ 2, 4, then the Diophantine equation (2^x − 1)(p^y − 1) = 2z² has no positive integer solution.

中文翻译：

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关于丢番图方程（2 x − 1）（py − 1）= 2 z 2

令p为奇质数。通过使用基本方法，我们证明：（1）如果2∤x ，p =±3（mod 8），则丢丢丁方程（2 ^x − 1）（p ^y − 1）= 2 z ²没有正整数解除了当p = 3或p的形式为\（p值= 2a_0 ^ 2 + 1 \） ，其中一个₀ > 1为奇数正整数。（2）如果2∤ X，2 |; y，y ≠2、4，则丢番图方程（2 ^x − 1）（p ^y − 1）= 2 z ²没有正整数解。