We say that a space X is dually CCC (respectively, weakly Lindelöf, separable) if for any neighbourhood assignment ϕ on X, there is a CCC (respectively, weakly Lindelöf, separable) subspace $Y\subset X$ such that $\varphi (Y)=\{\varphi (y):y\in Y\}$ covers X. In this paper, we mainly show that

(1) A dually CCC first countable Hausdorff space has cardinality at most $2^{\mathfrak{c}}$ and a dually weakly Lindelöf first countable normal space has cardinality at most $2^{\mathfrak{c}}$.

(2) Let $Y=\prod \{Y_i:i\le n\}$, where $Y_i$ is a scattered monotonically normal space for any $i=0,1,...,n$. If a subspace $X\subset Y$ is dually CCC then $e(X)\le \omega$ and a normal subspace $X\subset Y$ is DCCC if and only if $e(X)\le \omega$.

(3) Assume $2^{<\mathfrak{c}}=\mathfrak{c}$. A normal dually CCC space X with $\chi (X)\le \mathfrak{c}$ has extent at most $\mathfrak{c}$.

(4) A dually separable Hausdorff space X with a $G_{\delta }^{⁎}$-diagonal has extent at most $\mathfrak{c}$ and a dually separable regular space X with a $G_{\delta }$-diagonal has cardinality at most $\mathfrak{c}$.

(5) A dually CCC Hausdorff space with a $G_{\delta }$-diagonal has cellularity at most $\mathfrak{c}$.

我们说一个空间X是双重CCC（分别为弱Lindelof的，可分离）如果任何邻居分配φ在X，有CCC（分别为弱Lindelof的，可分离）子空间$ÿ\subset X$ 这样 $\varphi （ÿ）=\{\varphi （ÿ）：ÿ\in ÿ\}$涵盖X。在本文中，我们主要表明

（1）双重CCC的第一个可数Hausdorff空间最多具有基数 ${\mathrm{2个}}^{\mathfrak{C}}$ Lindelöf的第一个双重弱的第一个可数法向空间最多具有基数 ${\mathrm{2个}}^{\mathfrak{C}}$。

（2）让 $ÿ=\prod \{{ÿ}_{\mathrm{一世}}：\mathrm{一世}\le ñ\}$， 在哪里 ${ÿ}_{\mathrm{一世}}$ 是任何物体的分散单调法线空间 $\mathrm{一世}=0，\mathrm{1个}，。。。，ñ$。如果是子空间$X\subset ÿ$ 然后是双重CCC $Ë（X）\le \omega$ 和一个普通的子空间 $X\subset ÿ$ 是DCCC当且仅当 $Ë（X）\le \omega$。

（3）假设 ${\mathrm{2个}}^{<\mathfrak{C}}=\mathfrak{C}$。一个正常的双重CCC空间X与$\chi （X）\le \mathfrak{C}$ 最多有范围 $\mathfrak{C}$。

（4）一种双重可分离豪斯多夫空间X与$G_{\delta }^{⁎}$-对角线最多具有范围 $\mathfrak{C}$和双重可分正则空间X与$G_{\delta }$-对角线最多具有基数 $\mathfrak{C}$。

（5）具有CCC双重Hausdorff空间 $G_{\delta }$-对角线最多具有细胞性 $\mathfrak{C}$。