ABSTRACT

We give three q-congruences on double basic hypergeometric sums. One of them is a q-analogue of the following supercongruence: for any prime p>3, $\sum _{k=0}^{(p-1)/2}(4k+1)\frac{(\frac{1}{2}{)}_k^4}{k{!}^4}\sum _{j=1}^k(\frac{1}{(2j-1{)}^2}-\frac{1}{4j^2})\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^2).$ Our proof uses q-analogues of two Ramanujan-type supercongruences of Van Hamme and a q-analogue of a ‘divergent’ Ramanujan-type supercongruence.

中文翻译：

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双基本超几何和的一些q同余

摘要

我们对双基本超几何和给出三个q-同余。其中之一是以下超同余的q-模拟：对于任何素数p > 3，$\sum _{ķ=0}^{（p-\mathrm{1个}）/\mathrm{2个}}（4ķ+\mathrm{1个}）\frac{（\frac{\mathrm{1个}}{\mathrm{2个}}{）}_{ķ}^4}{ķ{！}^4}\sum _{Ĵ=\mathrm{1个}}^{ķ}（\frac{\mathrm{1个}}{（\mathrm{2个}Ĵ-\mathrm{1个}{）}^{\mathrm{2个}}}-\frac{\mathrm{1个}}{4{Ĵ}^{\mathrm{2个}}}）\equiv 0（\mathrm{国防部}{p}^{\mathrm{2个}}）。$我们证明使用q凡Hamme的两个拉马努金型supercongruences和的-analogues q了“发散”拉马努金型supercongruence的-analogue。