This paper is a contribution to the classification of flag-transitive 4-\((v,k,\lambda )\) designs. Let \(\mathcal D=({\mathcal {P}}, {\mathcal {B}})\) be a 4-\((q+1,k,\lambda )\) design with \(\lambda \ge 5\) and \(q+1>k>4\), \(G=PSL(2,q)\) be a flag-transitive automorphism group of \(\mathcal D\), \(G_x\) be the stabilizer of a point \(x\in {\mathcal {P}}\), and \(G_B\) be the setwise stabilizer of a block \(B\in {\mathcal {B}}\). Using the fact that \(G_B\) must be one of twelve kinds of subgroups of PSL(2, q), up to isomorphism we get the following two results: (i) If \(10\ge \lambda \ge 5\), then with the possible exception of \((G,G_x,G_B,k,\lambda )=(PSL(2,761),{E_{761}}\rtimes {C_{380}},S_4,24,7)\) or \((PSL(2,512),{E_{512}}\rtimes {C_{511}},{D_{18}},18,8)\) which remain undecided, \(\mathcal D\) is a unique 4-(24, 8, 5), 4-(9, 6, 10), 4-(8, 6, 6), 4-(9, 7, 10), 4-(9, 8, 5), 4-(10, 9, 6), 4-(12, 11, 8) or 4-(14, 13, 10) design with \((G,G_x,G_B)=(PSL(2,23),\) \({E_{23}}\rtimes {C_{11}},D_8)\), \((PSL(2,8),{E_{8}}\rtimes {C_{7}},D_6)\), \((PSL(2,7),{E_{7}}\rtimes {C_{3}},D_6)\), \((PSL(2,8),{E_{8}}\rtimes {C_{7}},D_{14})\), \((PSL(2,8),{E_{8}}\rtimes {C_{7}},{E_8}\rtimes {C_7})\), \((PSL(2,9),{E_{9}}\rtimes {C_{4}},{E_9}\rtimes {C_4})\), \((PSL(2,11),{E_{11}}\rtimes {C_{5}},{E_{11}}\rtimes {C_{5}})\) or \((PSL(2,13),{E_{13}}\rtimes {C_{6}},{E_{13}}\rtimes {C_6})\) respectively. (ii) If \(\lambda >10\), \({G_B}=A_4\), \(S_4\), \(A_5\), \(PGL(2,q_0)\)(\(g>1\) even) or \(PSL(2,q_0)\), where \({q_0}^g=q\), then there is no such design

本文对标志传递的4- （（v，k，\ lambda）\）设计的分类做出了贡献。令\（\ mathcal D = {{\ mathcal {P}}，{\ mathcal {B}}）\）为4- \（（q + 1，k，\ lambda）\）设计并带有\（\ lambda \ ge 5 \）和\（q + 1> k> 4 \），\（G = PSL（2，q）\）是\（\ mathcal D \），\（G_x \ ）是一个点的稳定剂\（X \在{\ mathcal {P}} \） ，和\（G_B \）是嵌段的逐集合稳定剂\（B \在{\ mathcal {B}} \） 。使用\（G_B \）必须是PSL的十二种子组之一的事实（2，  q）直到同构，我们得到以下两个结果：（i）如果\ {10 \ ge \ lambda \ ge 5 \），则除了\（（G，G_x，G_B，k， \ lambda）=（PSL（2,761），{E_ {761}} \ rtimes {C_ {380}}，S_4,24,7）\）或\（（PSL（2,512），{E_ {512}} \ rtimes {C_ {511}}，{D_ {18}}，18,8）\）仍未决定，\（\ mathcal D \）是唯一的4-（24，8，5），4-（9，6，10），4-（8，6，6），4-（9，7，10），4-（9，8，5），4-（10，9，6），4-（12，11 ，8）或4-（14、13、10 ）设计，其中\（（G，G_x，G_B）=（PSL（2,23），\）\（{E_ {23}} \ rtimes {C_ {11} }，D_8）\），\（（PSL（2,8），{E_ {8}} \ rtimes {C_ {7}}，D_6）\），\（（PSL（2,7），{E_ { 7}} \ rtimes {C_ {3}}，D_6）\），\（（PSL（2,8），{E_ {8}} \ rtimes {C_ {7}}，D_ {14}）\），\（（PSL（2,8），{E_ {8}} \ rtimes {C_ {7}}，{E_8} \ rtimes {C_7}）\），\（（PSL（2,9），{E_ {9}} \ rtimes {C_ {4}}，{E_9} \ rtimes {C_4}）\），\（（PSL（2,11），{E_ {11}} \ rtimes {C_ {5}}，{E_ {11}} \ rtimes {C_ {5}}）\）或\（（PSL（2,13），{E_ {13}} \ rtimes {C_ {6}}，{E_ {13}} \ rtimes {C_6}）\）。（ii）如果\（\ lambda> 10 \），\（{G_B} = A_4 \），\（S_4 \），\（A_5 \），\（PGL（2，q_0）\）（\（g> 1 \） even）或\（PSL（2，q_0）\），其中\（{q_0} ^ g = q \），则没有这样的设计