SIAM Journal on Computing, Volume 50, Issue 2, Page 487-508, January 2021.
For a fixed graph $H$, by Hom($H$) we denote the computational problem which asks whether a given graph $G$ admits a homomorphism to $H$, i.e., an edge-preserving mapping from $V(G)$ to $V(H)$. As Hom($K_k$) is equivalent to $k$-Coloring, graph homomorphisms can be seen as generalizations of colorings. It is known that Hom($H$) is polynomial-time solvable if $H$ is bipartite or has a vertex with a loop, and NP-complete otherwise [Hell and Nešetřil, J. Comb. Theory Ser. B, 48 (1990), pp. 92--110]. In this paper we are interested in the complexity of the problem, parameterized by the treewidth of the input graph $G$. If $G$ has $n$ vertices and is given along with its tree decomposition of width ${tw}(G)$, then the problem can be solved in time $|V(H)|^{{tw}(G)} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$, using a straightforward dynamic programming. We explore whether this bound can be improved. We show that if $H$ is a projective core, then the existence of such a faster algorithm is unlikely: assuming the Strong Exponential Time Hypothesis, the Hom($H$) problem cannot be solved in time $(|V(H)|-\epsilon)^{{tw}(G)} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$, for any $\epsilon > 0$. This result provides a full complexity characterization for a large class of graphs $H$, as almost all graphs are projective cores. We also notice that the naive algorithm can be improved for some graphs $H$ and show a complexity classification for all graphs $H$, assuming two conjectures from algebraic graph theory. In particular, there are no known graphs $H$ which are not covered by our result.

中文翻译：

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有界树宽图的图同态问题的细粒度复杂度

SIAM Journal on Computing，第 50 卷，第 2 期，第 487-508 页，2021 年 1 月。
对于固定图 $H$，我们用 Hom($H$) 表示计算问题，该问题询问给定的图 $G$ 是否承认 $H$ 的同态，即 $V(G) 的边保持映射$ 到 $V(H)$。由于 Hom($K_k$) 等价于 $k$-Coloring，图同态可以看作是着色的泛化。众所周知，如果 $H$ 是二分的或具有带环的顶点，则 Hom($H$) 是多项式时间可解的，否则是 NP 完全的 [Hell and Nešetřil, J. Comb. 理论系列 B, 48 (1990), pp. 92--110]。在本文中，我们对问题的复杂性感兴趣，由输入图 $G$ 的树宽参数化。如果$G$有$n$个顶点，并连同其宽度${tw}(G)$的树分解一起给出，那么问题可以及时解决$|V(H)|^{{tw}(G )} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$，使用简单的动态规划。我们探索这个界限是否可以改进。我们证明如果 $H$ 是一个射影核，那么这样一个更快的算法是不可能存在的：假设强指数时间假设，Hom($H$) 问题不能及时解决 $(|V(H) |-\epsilon)^{{tw}(G)} \cdot n^{\mathcal{O}(1)}$，对于任何 $\epsilon > 0$。该结果为一大类图 $H$ 提供了完整的复杂性表征，因为几乎所有图都是投影核心。我们还注意到，假设来自代数图论的两个猜想，对于某些图 $H$ 可以改进朴素算法，并显示所有图 $H$ 的复杂性分类。特别是，没有已知的图 $H$ 未包含在我们的结果中。假设强指数时间假设，Hom($H$) 问题不能及时解决 $(|V(H)|-\epsilon)^{{tw}(G)} \cdot n^{\mathcal{O }(1)}$，对于任何 $\epsilon > 0$。该结果为一大类图 $H$ 提供了完整的复杂性表征，因为几乎所有图都是投影核心。我们还注意到，假设来自代数图论的两个猜想，对于某些图 $H$ 可以改进朴素算法，并显示所有图 $H$ 的复杂性分类。特别是，没有已知的图 $H$ 未包含在我们的结果中。假设强指数时间假设，Hom($H$) 问题不能及时解决 $(|V(H)|-\epsilon)^{{tw}(G)} \cdot n^{\mathcal{O }(1)}$，对于任何 $\epsilon > 0$。该结果为一大类图 $H$ 提供了完整的复杂性表征，因为几乎所有图都是投影核心。我们还注意到，假设来自代数图论的两个猜想，对于某些图 $H$ 可以改进朴素算法，并显示所有图 $H$ 的复杂性分类。特别是，没有已知的图 $H$ 未包含在我们的结果中。因为几乎所有的图都是射影核。我们还注意到，假设来自代数图论的两个猜想，对于某些图 $H$ 可以改进朴素算法，并显示所有图 $H$ 的复杂性分类。特别是，没有已知的图 $H$ 未包含在我们的结果中。因为几乎所有的图都是射影核。我们还注意到，假设来自代数图论的两个猜想，对于某些图 $H$ 可以改进朴素算法，并显示所有图 $H$ 的复杂性分类。特别是，没有已知的图 $H$ 未包含在我们的结果中。