We study the problem of finding a minimal edge dominating set of maximum size in a given graph $G=(V,E)$, called Upper EDS. We show that this problem is not approximable within a ratio of $n^{\epsilon -\frac{1}{2}}$, for any $\epsilon \in (0,\frac{1}{2})$, assuming $\mathsf{P}\ne \mathsf{NP}$, where $n=|V|$. On the other hand, for graphs of minimum degree at least 2, we give an approximation algorithm with ratio $\frac{1}{\sqrt{n}}$, matching this lower bound. We further show that Upper EDS is $\mathsf{APX}$-complete in bipartite graphs of maximum degree 4, and $\mathsf{NP}$-hard in planar bipartite graphs of maximum degree 4.

中文翻译：

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上边缘支配的算法方面

我们研究了在给定图中找到最大尺寸的最小边支配集的问题 $G=(伏,乙)$，称为上 EDS。我们证明了这个问题在比例为$n^{\epsilon -\frac{1}{2}}$，对于任何 $\epsilon \in (0,\frac{1}{2})$， 假设 $\mathsf{磷}\ne \mathsf{NP}$， 在哪里 $n=|伏|$. 另一方面，对于最小度数至少为 2 的图，我们给出了一个近似算法$\frac{1}{\sqrt{n}}$，匹配这个下界。我们进一步表明，上 EDS是$\mathsf{悉尼证券交易所}$-在最大程度为 4 的二部图中完成，和 $\mathsf{NP}$-hard 在最大度数为 4 的平面二部图中。