SIAM Journal on Computing, Volume 50, Issue 2, Page 440-486, January 2021.
Let $G=(V,E)$ be a weighted graph or multigraph, with $f$ or $b$ a function assigning a nonnegative integer to each vertex. An $f$-factor is a subgraph whose degree function is $f$; a perfect $b$-matching is a $b$-factor in the graph formed from $G$ by adding an unlimited number of copies of each edge. This two-part paper culminates in an efficient algebraic algorithm to find a maximum $f$-factor, i.e., $f$-factor with maximum weight. Along the way it presents simpler special cases of interest. Part II presents the maximum $f$-factor algorithm and the special case of shortest paths in conservative undirected graphs (negative edges allowed). Part I presents these results: An algebraic algorithm for maximum $b$-matching, i.e., maximum weight $b$-matching. It is almost identical to its special case $b\equiv 1$, ordinary weighted matching. The time is $O(Wb(V)^{\omega})$ for $W$ the maximum magnitude of an edge weight, $b(V)=\sum_{v\in V} b(v)$, and $\omega<2.373$ the exponent of matrix multiplication. An algebraic algorithm to find an $f$-factor. The time is $O(f(V)^{\omega})$ for $f(V)=\sum_{v\in V} f(v)$. The specialization of the $f$-factor algorithm to bipartite graphs and its extension to maximum/minimum bipartite $f$-factors. This improves the known complexity bounds for vertex capacitated max-flow and min-cost max-flow on a subclass of graphs. Each algorithm is randomized and has two versions achieving the above time bound: For worst-case time the algorithm is correct with high probability. For expected time the algorithm is Las Vegas.

中文翻译：

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加权匹配泛化算法 I：二部图、b 匹配和未加权 f 因子

SIAM Journal on Computing，第 50 卷，第 2 期，第 440-486 页，2021 年 1 月。
让 $G=(V,E)$ 是一个加权图或多重图，其中 $f$ 或 $b$ 是一个函数，为每个顶点分配一个非负整数。$f$-factor 是度函数为 $f$ 的子图；完美的$b$-matching 是$b$-factor 在由$G$ 通过添加无限数量的每条边的副本形成的图中。这篇由两部分组成的论文最终以一种高效的代数算法来找到最大的 $f$-factor，即具有最大权重的 $f$-factor。一路上，它提出了更简单的特殊情况。第二部分介绍了最大 $f$-factor 算法和保守无向图中最短路径的特殊情况（允许负边）。第 I 部分介绍了这些结果： 最大 $b$-匹配的代数算法，即最大权重 $b$-匹配。它几乎与它的特殊情况 $b\equiv 1$ 相同，即普通的加权匹配。时间是 $O(Wb(V​​)^{\omega})$ 对于 $W$ 边缘权重的最大幅度，$b(V)=\sum_{v\in V} b(v)$，和$\omega<2.373$ 矩阵乘法的指数。一种寻找 $f$ 因子的代数算法。对于 $f(V)=\sum_{v\in V} f(v)$，时间是 $O(f(V)^{\omega})$。$f$-factor 算法对二部图的特殊化及其对最大/最小二部 $f$-factors 的扩展。这改进了图子类上顶点容量最大流和最小成本最大流的已知复杂度界限。每个算法都是随机的，并且有两个版本达到上述时间限制：对于最坏情况，算法正确的概率很高。对于预期时间，算法是拉斯维加斯。373$矩阵乘法的指数。一种寻找 $f$ 因子的代数算法。对于 $f(V)=\sum_{v\in V} f(v)$，时间是 $O(f(V)^{\omega})$。$f$-factor 算法对二部图的特殊化及其对最大/最小二部 $f$-factors 的扩展。这改进了图子类上顶点容量最大流和最小成本最大流的已知复杂度界限。每个算法都是随机的，并且有两个版本达到上述时间限制：对于最坏情况，算法正确的概率很高。对于预期时间，算法是拉斯维加斯。373$矩阵乘法的指数。一种寻找 $f$ 因子的代数算法。对于 $f(V)=\sum_{v\in V} f(v)$，时间是 $O(f(V)^{\omega})$。$f$-factor 算法对二部图的特殊化及其对最大/最小二部 $f$-factors 的扩展。这改进了图子类上顶点容量最大流和最小成本最大流的已知复杂度界限。每个算法都是随机的，并且有两个版本达到上述时间限制：对于最坏情况，算法正确的概率很高。对于预期时间，算法是拉斯维加斯。这改进了图子类上顶点容量最大流和最小成本最大流的已知复杂度界限。每个算法都是随机的，并且有两个版本达到上述时间限制：对于最坏情况，算法正确的概率很高。对于预期时间，算法是拉斯维加斯。这改进了图子类上顶点容量最大流和最小成本最大流的已知复杂度界限。每个算法都是随机的，并且有两个版本达到上述时间限制：对于最坏情况，算法正确的概率很高。对于预期时间，算法是拉斯维加斯。