In this paper one first shows that the slow flow of a mechanical system with one unstable mode coupled to a Nonlinear Energy Sink (NES) can be reduced, in the neighborhood of a fold point of its critical manifold, to a normal form of the dynamic saddle-node bifurcation. This allows us to then obtain a scaling law for the slow flow dynamics and to improve the accuracy of the theoretical prediction of the mitigation limit of the NES previously obtained as part of a zeroth-order approximation. For that purpose, the governing equations of the coupled system are first simplified using a reduced-order model for the primary structure by keeping only its unstable modal coordinates. The slow flow is then derived by means of the complexification-averaging method and, by the presence of a small perturbation parameter related to the mass ratio between the NES and the primary structure, it appears as a fast-slow system. The center manifold theorem is finally used to obtain the reduced form of the slow flow which is solved analytically leading to the scaling law. The latter reveals a nontrivial dependence with respect to the small perturbation parameter of the slow flow dynamics near the fold point, involving the fractional exponents 1/3 and 2/3. Finally, a new theoretical prediction of the mitigation limit is deduced from the scaling law. In the end, the proposed methodology is exemplified and validated numerically using an aeroelastic aircraft wing model coupled to one NES.

本文首先表明，具有不稳定模式且耦合了非线性能量吸收器（NES）的机械系统的缓慢流动可以在其临界歧管的折点附近减小为动态形式。鞍节点分叉。这样，我们便可以为慢流动力学获得比例定律，并提高先前作为零阶近似的一部分而获得的NES缓解极限的理论预测的准确性。为此，首先通过使用降阶模型对主要结构进行简化，从而仅保留其不稳定的模态坐标，从而简化了耦合系统的控制方程。然后，通过复数平均法得出慢流量，并且 由于存在与NES和主要结构之间的质量比有关的小扰动参数，因此它表现为快慢系统。最终，中心流形定理被用于获得慢流的简化形式，该形式通过解析得到解析，从而得出缩放定律。后者揭示了对折点附近慢流动力学的小扰动参数的非平凡依赖，涉及分数指数1/3和2/3。最后，从比例定律推导出了对缓解极限的新理论预测。最后，使用耦合到一个NES的航空弹性飞机机翼模型对提出的方法进行了举例说明和数值验证。最终，中心流形定理被用于获得慢流的简化形式，该形式通过解析得到解析，从而得出缩放定律。后者揭示了对折点附近慢流动力学的小扰动参数的非平凡依赖，涉及分数指数1/3和2/3。最后，从比例定律推导出了对缓解极限的新理论预测。最后，使用耦合到一个NES的航空弹性飞机机翼模型对提出的方法进行了举例说明和数值验证。最终，中心流形定理被用于获得慢流的简化形式，该形式通过解析得到解析，从而得出缩放定律。后者揭示了对折点附近慢流动力学的小扰动参数的非平凡依赖，涉及分数指数1/3和2/3。最后，从比例定律推导出了对缓解极限的新理论预测。最后，使用耦合到一个NES的航空弹性飞机机翼模型对提出的方法进行了举例说明和数值验证。从比例定律中得出了缓解极限的新理论预测。最后，使用耦合到一个NES的航空弹性飞机机翼模型对提出的方法进行了举例说明和数值验证。从比例定律中得出了缓解极限的新理论预测。最后，使用耦合到一个NES的航空弹性飞机机翼模型对提出的方法进行了举例说明和数值验证。