In this paper, we prove that if $f(x)={\sum }_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)a_k{x}^k$ is a polynomial with real zeros only, then the sequence ${\{a_k\}}_{k=0}^n$ satisfies the following inequalities $a_{k+1}^2{(1-\sqrt{1-c_k})}^2/a_k^2\le (a_{k+1}^2-a_k{a}_{k+2})/(a_k^2-a_{k-1}{a}_{k+1})\le a_{k+1}^2{(1+\sqrt{1-c_k})}^2/a_k^2$, where $c_k=a_k{a}_{k+2}/a_{k+1}^2$. This inequality is equivalent to the higher order Turán inequality. It holds for the coefficients of the Riemann ξ-function, the ultraspherical, Laguerre and Hermite polynomials, and the partition function. Moreover, as a corollary, for the partition function $p(n)$, we prove that $p{(n)}^2-p(n-1)p(n+1)$ is increasing for $n\ge 55$. We also find that for a positive and log-concave sequence ${\{a_k\}}_{k\ge 0}$, the inequality $a_{k+2}/a_k\le (a_{k+1}^2-a_k{a}_{k+2})/(a_k^2-a_{k-1}{a}_{k+1})\le a_{k+1}/a_{k-1}$ is the sufficient condition for both the 2-log-concavity and the higher order Turán inequalities of ${\{a_k\}}_{k\ge 0}$. It is easy to verify that if $a_k^2\ge r{a}_{k+1}{a}_{k-1}$, where $r\ge 2$, then the sequence ${\{a_k\}}_{k\ge 0}$ satisfies this inequality.

在本文中，我们证明 $F（X）={\sum }_{ķ=0}^{ñ}（\begin{array}{c}ñ\\ ķ\end{array}）{\mathrm{一个}}_{ķ}{X}^{ķ}$ 是仅具有实零的多项式，则序列 ${\{{\mathrm{一个}}_{ķ}\}}_{ķ=0}^{ñ}$ 满足以下不等式 ${\mathrm{一个}}_{ķ+\mathrm{1个}}^{\mathrm{2个}}{（\mathrm{1个}-\sqrt{\mathrm{1个}-C_{ķ}}）}^{\mathrm{2个}}/{\mathrm{一个}}_{ķ}^{\mathrm{2个}}\le （{\mathrm{一个}}_{ķ+\mathrm{1个}}^{\mathrm{2个}}-{\mathrm{一个}}_{ķ}{\mathrm{一个}}_{ķ+\mathrm{2个}}）/（{\mathrm{一个}}_{ķ}^{\mathrm{2个}}-{\mathrm{一个}}_{ķ-\mathrm{1个}}{\mathrm{一个}}_{ķ+\mathrm{1个}}）\le {\mathrm{一个}}_{ķ+\mathrm{1个}}^{\mathrm{2个}}{（\mathrm{1个}+\sqrt{\mathrm{1个}-C_{ķ}}）}^{\mathrm{2个}}/{\mathrm{一个}}_{ķ}^{\mathrm{2个}}$， 在哪里 $C_{ķ}={\mathrm{一个}}_{ķ}{\mathrm{一个}}_{ķ+\mathrm{2个}}/{\mathrm{一个}}_{ķ+\mathrm{1个}}^{\mathrm{2个}}$。该不等式等效于较高阶的Turán不等式。它适用于黎曼ξ函数的系数，超球面多项式，Laguerre和Hermite多项式以及分配函数。此外，作为推论，用于分区功能$p（ñ）$，我们证明 $p{（ñ）}^{\mathrm{2个}}-p（ñ-\mathrm{1个}）p（ñ+\mathrm{1个}）$ 为增加 $ñ\ge 55$。我们还发现对于正数和凹数序列${\{{\mathrm{一个}}_{ķ}\}}_{ķ\ge 0}$不等式 ${\mathrm{一个}}_{ķ+\mathrm{2个}}/{\mathrm{一个}}_{ķ}\le （{\mathrm{一个}}_{ķ+\mathrm{1个}}^{\mathrm{2个}}-{\mathrm{一个}}_{ķ}{\mathrm{一个}}_{ķ+\mathrm{2个}}）/（{\mathrm{一个}}_{ķ}^{\mathrm{2个}}-{\mathrm{一个}}_{ķ-\mathrm{1个}}{\mathrm{一个}}_{ķ+\mathrm{1个}}）\le {\mathrm{一个}}_{ķ+\mathrm{1个}}/{\mathrm{一个}}_{ķ-\mathrm{1个}}$ 是2对数凹度和高阶图兰不等式的充分条件 ${\{{\mathrm{一个}}_{ķ}\}}_{ķ\ge 0}$。很容易验证是否${\mathrm{一个}}_{ķ}^{\mathrm{2个}}\ge \mathrm{[R}{\mathrm{一个}}_{ķ+\mathrm{1个}}{\mathrm{一个}}_{ķ-\mathrm{1个}}$， 在哪里 $\mathrm{[R}\ge \mathrm{2个}$，然后是顺序 ${\{{\mathrm{一个}}_{ķ}\}}_{ķ\ge 0}$ 满足了这种不平等。