We generalize the Mahowald invariant to the $\mathbb{R}$‐motivic and $C_2$‐equivariant settings. For all $i>0$ with $i\equiv 2,3\mathrm{mod}4$, we show that the $\mathbb{R}$‐motivic Mahowald invariant of ${(2+\rho \eta )}^i\in {\pi }_{0,0}^{\mathbb{R}}(S^{0,0})$ contains a lift of a certain element in Adams' classical $v_1$‐periodic families, and for all $i>0$, we show that the $\mathbb{R}$‐motivic Mahowald invariant of ${\eta }^i\in {\pi }_{i,i}^{\mathbb{R}}(S^{0,0})$ contains a lift of a certain element in Andrews' $\mathbb{C}$‐motivic $w_1$‐periodic families. We prove analogous results about the $C_2$‐equivariant Mahowald invariants of ${(2+\rho \eta )}^i\in {\pi }_{0,0}^{C_2}(S^{0,0})$ and ${\eta }^i\in {\pi }_{i,i}^{C_2}(S^{0,0})$ by leveraging connections between the classical, motivic, and equivariant stable homotopy categories. The infinite families we construct are some of the first periodic families of their kind studied in the $\mathbb{R}$‐motivic and $C_2$‐equivariant settings.

中文翻译：

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真正的动机和C2等价的Mahowald不变量

我们将Mahowald不变量推广为 $\mathbb{[R}$动机和 $C_{\mathrm{2个}}$等效设置。对全部$\mathrm{一世}>0$ 和 $\mathrm{一世}\equiv \mathrm{2个}，3\mathrm{国防部}4$，我们证明 $\mathbb{[R}$动力Mahowald不变量 ${（\mathrm{2个}+\rho \eta ）}^{\mathrm{一世}}\in {\pi }_{0，0}^{\mathbb{[R}}（{\mathrm{小号}}^{0，0}）$ 包含亚当斯经典小说中某种元素的提升 $v_{\mathrm{1个}}$周期性家庭，并为所有人 $\mathrm{一世}>0$，我们证明 $\mathbb{[R}$动力Mahowald不变量 ${\eta }^{\mathrm{一世}}\in {\pi }_{\mathrm{一世}，\mathrm{一世}}^{\mathbb{[R}}（{\mathrm{小号}}^{0，0}）$ 在安德鲁斯（Andrews）的作品中包含特定元素的提升 $\mathbb{C}$动机 $w_{\mathrm{1个}}$周期性家庭。我们证明了关于$C_{\mathrm{2个}}$的等变Mahowald不变量 ${（\mathrm{2个}+\rho \eta ）}^{\mathrm{一世}}\in {\pi }_{0，0}^{C_{\mathrm{2个}}}（{\mathrm{小号}}^{0，0}）$ 和 ${\eta }^{\mathrm{一世}}\in {\pi }_{\mathrm{一世}，\mathrm{一世}}^{C_{\mathrm{2个}}}（{\mathrm{小号}}^{0，0}）$通过利用经典，动机和等变稳定同态类别之间的联系。我们构建的无限族是在该领域中研究的这类最早的周期性族中的一些。$\mathbb{[R}$动机和 $C_{\mathrm{2个}}$等效设置。