Abstract

In this paper, a second-order discrete-time automatic control system is studied. This study is a continuation of the research presented in the author’s papers “On the Aizerman problem: coefficient conditions for the existence of a four-period cycle in a second-order discrete-time system” and “On the Aizerman problem: coefficient conditions for the existence of three- and six-period cycles in a second-order discrete-time system,” where systems with two- and three periodic nonlinearities lying in the Hurwitz angle were considered. The systems with nonlinearities subjected to stronger constraints are discussed in this paper. It is assumed that the nonlinearity not only lies in the Hurwitz angle but also satisfies the additional sector condition. This formulation of the problem can be found in many works devoted to theoretical and applied problems of the automatic control theory. In this paper, a system with such a nonlinearity is investigated for all possible values of the parameters. It is shown that in this case, there are the parameter values for which a system with a two-periodic nonlinearity has a family of four-period cycles and a system with a three-periodic nonlinearity has a family of three- or six-period cycles. The conditions on the parameters under which the system can have a family of periodic solutions are written out explicitly. The proofs of the theorems provide a method for constructing a nonlinearity in such a way that any solution of the system with the initial data lying on some definite ray is periodic.

中文翻译：

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具有扇区非线性的二阶离散系统的周期存在条件

摘要

本文研究了一种二阶离散时间自动控制系统。本研究是作者论文“关于Aizerman问题：二阶离散时间系统中存在四个周期周期的系数条件”和“关于Aizerman问题：关于Aizerman问题的系数条件”的继续。 “存在于二阶离散时间系统中的三个周期和六个周期的周期”，其中考虑了具有两个和三个周期非线性位于Hurwitz角的系统。本文讨论了具有较强约束的非线性系统。假定非线性不仅存在于Hurwitz角，而且满足附加的扇区条件。在许多致力于自动控制理论和应用问题的著作中可以找到这种问题的表述。在本文中，针对所有可能的参数值，研究了具有这种非线性的系统。结果表明，在这种情况下，存在这样的参数值：具有两个周期非线性的系统具有四个周期周期的族，而具有三个周期非线性的系统具有三个周期或六个周期的族周期。明确列出了系统可以具有一系列周期解的参数条件。定理的证明提供了一种构造非线性的方法，该方法使得初始数据位于某个确定的射线上的系统的任何解决方案都是周期性的。对于所有可能的参数值，研究具有这种非线性的系统。结果表明，在这种情况下，存在这样的参数值：具有两个周期非线性的系统具有四个周期周期的族，而具有三个周期非线性的系统具有三个周期或六个周期的族周期。明确列出了系统可以具有一系列周期解的参数条件。定理的证明提供了一种构造非线性的方法，该方法使得初始数据位于某个确定的射线上的系统的任何解决方案都是周期性的。对于所有可能的参数值，研究具有这种非线性的系统。结果表明，在这种情况下，存在这样的参数值：具有两个周期非线性的系统具有四个周期周期的族，而具有三个周期非线性的系统具有三个周期或六个周期的族周期。明确列出了系统可以具有一系列周期解的参数条件。定理的证明提供了一种构造非线性的方法，该方法使得初始数据位于某个确定的射线上的系统的任何解决方案都是周期性的。对于具有两个周期非线性的系统具有四个周期周期的族而具有三个周期非线性的系统具有三个周期或六个周期周期的族的参数值。明确列出了系统可以具有一系列周期解的参数条件。定理的证明提供了一种构造非线性的方法，该方法使得初始数据位于某个确定的射线上的系统的任何解决方案都是周期性的。对于具有两个周期非线性的系统具有四个周期周期的族而具有三个周期非线性的系统具有三个周期或六个周期周期的族的参数值。明确列出了系统可以具有一系列周期解的参数条件。定理的证明提供了一种构造非线性的方法，使得初始数据位于某个确定的射线上的系统的任何解决方案都是周期性的。