We study the Cauchy problem for the Euler-Poisson-Darboux equation, with a power nonlinearity:$u_{tt}-u_{xx}+\frac{\mu }{t}{u}_t=t^{\alpha }|u{|}^p,t>t_0,x\in \mathbb{R},$ where $\mu >0$, $p>1$ and $\alpha >-2$. Here either $t_0=0$ (singular problem) or $t_0>0$ (regular problem). We show that this model may be interpreted as a semilinear wave equation with borderline dissipation: the existence of global small data solutions depends not only on the power p, but also on the parameter μ. Global small data weak solutions exist if$(p-1)\min \{1,\mu ,\frac{\mu }{2}+\frac{1}{p}\}>2+\alpha .$ In the case of $\alpha =0$, the above condition is equivalent to $p>p_{\mathrm{crit}}=\max \{p_{\mathrm{Str}}(1+\mu ),3\}$, where $p_{\mathrm{Str}}(k)$ is the critical exponent conjectured by W.A. Strauss for the semilinear wave equation without dissipation (i.e. $\mu =0$) in space dimension k. Varying the parameter μ, there is a continuous transition from $p_{\mathrm{crit}}=\infty$ (for $\mu =0$) to $p_{\mathrm{crit}}=3$ (for $\mu \ge 4/3$). The optimality of $p_{\mathrm{crit}}$ follows by known nonexistence counterpart results for $1<p\le p_{\mathrm{crit}}$ (and for any $p>1$ if $\mu =0$).

As a corollary of our result, we obtain analogous results for generalized semilinear Tricomi equations and other models related to the Euler-Poisson-Darboux equation.

我们研究具有幂非线性的Euler-Poisson-Darboux方程的柯西问题：${ü}_{ŤŤ}-{ü}_{XX}+\frac{\mu }{Ť}{ü}_{Ť}={Ť}^{\alpha }|ü{|}^p，Ť>{Ť}_0，X\in \mathbb{[R}，$ 在哪里 $\mu >0$， $p>\mathrm{1个}$ 和 $\alpha >-\mathrm{2个}$。在这里${Ť}_0=0$ （单个问题）或 ${Ť}_0>0$（常规问题）。我们表明，该模型可以解释为具有边界耗散的半线性波动方程：全局小数据解的存在不仅取决于幂p，而且取决于参数μ。如果存在全球小数据弱解决方案$（p-\mathrm{1个}）\mathrm{分}\{\mathrm{1个}，\mu ，\frac{\mu }{\mathrm{2个}}+\frac{\mathrm{1个}}{p}\}>\mathrm{2个}+\alpha 。$ 如果是 $\alpha =0$，上述条件等同于 $p>p_{\mathrm{暴击}}=\mathrm{最大限度}\{p_{\mathrm{力量}}（\mathrm{1个}+\mu ），3\}$， 在哪里 $p_{\mathrm{力量}}（ķ）$ 是WA Strauss猜想的无耗散半线性波动方程的临界指数（即 $\mu =0$）在空间尺寸k中。改变参数μ，从$p_{\mathrm{暴击}}=\infty$ （为了 $\mu =0$） 到 $p_{\mathrm{暴击}}=3$ （为了 $\mu \ge 4/3$）。的最优性$p_{\mathrm{暴击}}$ 接着是已知的不存在的对应结果 $\mathrm{1个}<p\le p_{\mathrm{暴击}}$ （以及任何 $p>\mathrm{1个}$ 如果 $\mu =0$）。

作为结果的推论，我们获得了广义半线性Tricomi方程和与Euler-Poisson-Darboux方程有关的其他模型的相似结果。