SIAM Journal on Discrete Mathematics, Volume 35, Issue 1, Page 447-464, January 2021.
We prove that for every nowhere dense class of graphs $\mathcal{C}$, positive integer $d$, and $\varepsilon>0$, the following holds: in every $n$-vertex graph $G$ from $\mathcal{C}$ one can find two disjoint vertex subsets $A,B\subseteq V(G)$ such that $|A|\geq (1/2-\varepsilon)\cdot n$ and $|B|=\Omega(n^{1-\varepsilon})$; and either ${dist}(a,b)\leq d$ for all $a\in A$ and $b\in B$, or ${dist}(a,b)>d$ for all $a\in A$ and $b\in B$. We also show some stronger variants of this statement, including a generalization to the setting of first-order interpretations of nowhere dense graph classes.

中文翻译：

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Erdös--稀疏图幂的 Hajnal 性质

SIAM杂志上离散数学，35卷，第1期，页447-464，2021年一月
，我们证明了对每一个疏朗类图的$ \ mathcal {C} $，正整数$ d $和$ \ varepsilon> 0 $，以下成立：在 $\mathcal{C}$ 的每个 $n$-顶点图 $G$ 中，可以找到两个不相交的顶点子集 $A,B\subseteq V(G)$ 使得 $|A|\ geq (1/2-\varepsilon)\cdot n$ 和 $|B|=\Omega(n^{1-\varepsilon})$; 以及所有 $a\in A$ 和 $b\in B$ 的 ${dist}(a,b)\leq d$，或所有 $a\in 的 ${dist}(a,b)>d$ A$ 和 $b\in B$。我们还展示了这个陈述的一些更强的变体，包括对无处密集图类的一阶解释设置的概括。