We consider the relaxed functional $\mathcal{RF}\left(u\right)=inf\left\{\underset{k}{lim\; inf}\mathcal{F}\left(u_k\right):u_k\to u\right\}$where $\mathcal{F}$ is the polyconvex integral $\mathcal{F}\left(u\right)={\int }_{\Omega }\left[{\left|Du\right|}^p+h(detDu)\right]dx,$with $u:\Omega \subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ and $h\ge 0$ is convex. We prove bounds for minimizers of $\mathcal{RF}\left(u\right)$. Similar results are already known when $p\ge 2$. In the present paper we use a different technique that allows us to get also the subquadratic case $1<p<2$. The model case is $h\left(t\right)={\left|t\right|}^s$ with $s\ge 1$: with such an $h$, we get maximum modulus inequality ${sup}_{\Omega }\left|u\right|\le {sup}_{\partial \Omega }\left|u\right|$.

中文翻译：

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一些松弛的凸凸泛函的最小化估计

我们认为放松的功能 $\mathcal{射频}（ü）=信息\left\{\underset{ķ}{lim\; inf}\mathcal{F}（{ü}_{ķ}）：{ü}_{ķ}\to ü\right\}$在哪里 $\mathcal{F}$ 是多凸积分 $\mathcal{F}（ü）={\int }_{\Omega }\left[{\left|dü\right|}^p+H（tdü）\right]dX，$和 $ü：\Omega \subset {\mathbb{[R}}^{ñ}\to {\mathbb{[R}}^{ñ}$ 和 $H\ge 0$是凸的。我们证明了最小化的极限$\mathcal{射频}（ü）$。类似的结果何时已知$p\ge \mathrm{2个}$。在本文中，我们使用了一种不同的技术，该技术还可以使我们得到次二次情况$\mathrm{1个}<p<\mathrm{2个}$。模型案例是$H（Ť）={\left|Ť\right|}^s$ 和 $s\ge \mathrm{1个}$：这样 $H$，我们得到最大模量不等式 ${SUP}_{\Omega }\left|ü\right|\le {SUP}_{\partial \Omega }\left|ü\right|$。