The aim of this study is to investigate the bouncing dynamics of a small elastic ball on a staircase consisting of rounded edge steps, as an example of a dissipative gravitational billiard, and to determine if its dynamics is chaotic. We derive a nonlinear recursion for the coordinates of the collisions, completed with numerical simulations, which indicate that the bouncing dynamics is chaotic, as also follows from elementary considerations regarding the Lyapunov exponent. It is, however, surprising that instead of permanent chaos, only the transient form is present. The main reason behind this is that a collision with the rounded edge of the step enhances the horizontal velocity leading to larger and larger jumps. Not even the introduction of a tangential coefficient of restitution (COR) on the curvature can hinder the flying away of some trajectories. There is also a chance for remaining trapped on a single step in the form of sliding, representing another possibility for escape. Therefore, chaoticity holds for long trajectories before any kind of escape takes place. We also show that an impact-velocity-dependent COR converts the dynamics to permanently chaotic with an underlying fractal attractor. Only elementary mathematics is required for the analytic calculations used, and we offer a set of problems to solve, as well as a user-friendly demo software on our website: https://theorphys.elte.hu/fiztan/stairs to facilitate experimentation and further understanding of this complex phenomenon.

这项研究的目的是研究一个小的弹性球在一个由圆形边缘台阶组成的楼梯上的弹跳动力学，以此作为耗散重力台球的例子，并确定其动力学是否混乱。我们通过数值模拟得出了碰撞坐标的非线性递归，这表明弹跳动力学是混沌的，这也是从关于Lyapunov指数的基本考虑中得出的。然而，令人惊讶的是，除了永久性的混乱之外，仅存在瞬时形式。其背后的主要原因是，与踏板的圆角边缘的碰撞增强了水平速度，导致越来越大的跳跃。甚至在曲率上引入切向恢复系数（COR）都不会阻碍某些轨迹的飞离。还有机会以滑动的形式停留在单个台阶上，这代表了另一种逃生的可能性。因此，在发生任何形式的逃逸之前，混沌就可以保持很长的轨迹。我们还表明，依赖于冲击速度的COR将动力学转换为具有潜在的分形吸引子的永久混沌。所使用的分析计算仅需要基础数学，并且我们提供了一系列要解决的问题，并在我们的网站上提供了用户友好的演示软件：https://theorphys.elte.hu/fiztan/stairs，以方便实验。并进一步了解这一复杂现象。还有机会以滑动的形式停留在单个台阶上，这代表了另一种逃生的可能性。因此，在发生任何形式的逃逸之前，混沌就可以保持很长的轨迹。我们还表明，依赖于冲击速度的COR将动力学转换为具有潜在的分形吸引子的永久混沌。所使用的分析计算仅需要基础数学，并且我们提供了一系列要解决的问题，并在我们的网站上提供了用户友好的演示软件：https://theorphys.elte.hu/fiztan/stairs以方便进行实验并进一步了解这一复杂现象。还有机会以滑动的形式停留在单个台阶上，这代表了另一种逃生的可能性。因此，在发生任何形式的逃逸之前，混沌就可以保持很长的轨迹。我们还表明，依赖于冲击速度的COR将动力学转换为具有潜在的分形吸引子的永久混沌。所使用的分析计算仅需要基础数学，并且我们提供了一系列要解决的问题，并在我们的网站上提供了用户友好的演示软件：https://theorphys.elte.hu/fiztan/stairs以方便进行实验并进一步了解这一复杂现象。我们还表明，依赖于冲击速度的COR将动力学转换为具有潜在的分形吸引子的永久混沌。所使用的分析计算仅需要基础数学，并且我们提供了一系列要解决的问题，并在我们的网站上提供了用户友好的演示软件：https://theorphys.elte.hu/fiztan/stairs以方便进行实验并进一步了解这一复杂现象。我们还表明，依赖于冲击速度的COR将动力学转换为具有潜在的分形吸引子的永久混沌。所使用的分析计算仅需要基础数学，并且我们提供了一系列要解决的问题，并在我们的网站上提供了用户友好的演示软件：https://theorphys.elte.hu/fiztan/stairs以方便进行实验并进一步了解这一复杂现象。