Let $A\subset I=[0,1]$ such that $\lambda A=0$ and A is a dense ${\mathcal{G}}_{\delta }$ subset of $[0,1]$, and take $\mathcal{M}$ to be the set of measurable self-maps of I. There exists a residual set $\mathcal{R}\subset \mathcal{M}$ such that for each f in $\mathcal{R}$, the following hold:

(1)

The range of f is contained in A, and f is a one-to-one function.

(2)

For any $x\in [0,1]$, the ω-limit set $\omega (x,f)$ is nowhere dense.

(3)

The Hausdorff dimension of the ω-limit points $\overline{\mathrm{\Lambda }(f)}={\cup }_{x\in I}\omega (x,f)$ is zero.

(4)

The function f is nowhere continuous.

Any closed set E contained in $[0,1]$ is an ω-limit set for some measurable function $f:I\to I$. Moreover, there exists a measurable function $f:[0,1]\to [0,1]$ such that for any $\epsilon >0$, $x\in [0,1]$ and closed set $E\subset [0,1]$, there is a function $g:I\to I$ such that $\parallel g-f\parallel <\epsilon$, and $E=\omega (x,g)$.

让 $\mathrm{一个}\subset \mathrm{一世}=[0，\mathrm{1个}]$ 这样 $\lambda \mathrm{一个}=0$而且A是一个密集的${\mathcal{G}}_{\delta }$ 的子集 $[0，\mathrm{1个}]$，然后 $\mathcal{中号}$成为I的可测量的自映射的集合。存在残差集$\mathcal{[R}\subset \mathcal{中号}$这样对于每一个f in$\mathcal{[R}$，以下保持：

（1）

f的范围包含在A中，并且f是一对一的函数。

（2）

对于任何 $X\in [0，\mathrm{1个}]$，ω-极限集$\omega （X，F）$ 无处密集。

（3）

ω-极限点的Hausdorff维数$\stackrel{〜}{\mathrm{\Lambda }（F）}={\cup }_{X\in \mathrm{一世}}\omega （X，F）$ 是零。

（4）

函数f在任何地方都不是连续的。

包含在中的任何封闭集E$[0，\mathrm{1个}]$是一些可测函数的ω-极限集$F：\mathrm{一世}\to \mathrm{一世}$。此外，还有一个可测量的功能$F：[0，\mathrm{1个}]\to [0，\mathrm{1个}]$ 这样对于任何 $\epsilon >0$， $X\in [0，\mathrm{1个}]$ 和封闭集 $E\subset [0，\mathrm{1个}]$，有一个功能 $G：\mathrm{一世}\to \mathrm{一世}$ 这样 $\parallel G-F\parallel <\epsilon$， 和 $E=\omega （X，G）$。