Let $S(\sigma ,t)=\frac{1}{\pi }\arg \zeta (\sigma +it)$ be the argument of the Riemann zeta-function at the point $\sigma +it$ in the critical strip. For $n\ge 1$ and $t>0$, we define$S_n(\sigma ,t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{S}_{n-1}(\sigma ,\tau )\mathrm{d}\tau +{\delta }_{n,\sigma },$ where ${\delta }_{n,\sigma }$ is a specific constant depending on σ and n. Let $0\le \beta <1$ be a fixed real number. Assuming the Riemann hypothesis, we establish lower bounds for the maximum of $S_n(\sigma ,t+h)-S_n(\sigma ,t)$ near the critical line, on the interval $T^{\beta }\le t\le T$ and in a small range of h. This improves some results of the first author and generalizes a result of the authors on $S(t)$. We also give new omega results for $S_n(t)$, improving a result by Selberg.

让 $\mathrm{小号}（\sigma ，Ť）=\frac{\mathrm{1个}}{\pi }\mathrm{精氨酸}\zeta （\sigma +\mathrm{一世}Ť）$ 在这一点上成为黎曼zeta函数的参数 $\sigma +\mathrm{一世}Ť$在关键地带。为了$ñ\ge \mathrm{1个}$ 和 $Ť>0$，我们定义${\mathrm{小号}}_{ñ}（\sigma ，Ť）=\underset{0}{\overset{Ť}{\int }}{\mathrm{小号}}_{ñ-\mathrm{1个}}（\sigma ，\tau ）\mathrm{d}\tau +{\delta }_{ñ，\sigma }，$ 在哪里 ${\delta }_{ñ，\sigma }$是取决于σ和n的特定常数。让$0\le \beta <\mathrm{1个}$是固定的实数。假设黎曼假设，我们为下式的最大值建立下界${\mathrm{小号}}_{ñ}（\sigma ，Ť+H）-{\mathrm{小号}}_{ñ}（\sigma ，Ť）$ 在临界线附近，在间隔 ${Ť}^{\beta }\le Ť\le Ť$在h的小范围内。这改善了第一作者的一些结果，并概括了作者在以下方面的结果：$\mathrm{小号}（Ť）$。我们还为给出了新的Omega结果${\mathrm{小号}}_{ñ}（Ť）$，改善了Selberg的结果。