Let \(\lambda (t)\) be the first eigenvalue of \(-\Delta +aR\, (a>0)\) under the backward Ricci flow on locally homogeneous 3-manifolds, where R is the scalar curvature. In the Bianchi case, we get the upper and lower bounds of \(\lambda (t)\). In particular, we show that when the the backward Ricci flow converges to a sub-Riemannian geometry after a proper re-scaling, \(\lambda ^{+}(t)\) approaches zero, where \(\lambda ^{+}(t)=\max \{\lambda (t),0\}\).

中文翻译：

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拉普拉斯算子的特征值在局部齐次三流形上在向后Ricci流下具有势

令\（\ lambda（t）\）为局部齐次3流形上向后Ricci流下\（-Delta + aR \，（a> 0）\）的第一个特征值，其中R为标量曲率。在Bianchi的情况下，我们获得\（\ lambda（t）\）的上限和下限。尤其是，我们表明，在适当的重新缩放后，当反向Ricci流收敛到次黎曼几何时，\（\ lambda ^ {+}（t）\）接近零，其中\（\ lambda ^ {+ }（t）= \ max \ {\ lambda（t），0 \} \）。