SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Volume 42, Issue 1, Page 330-350, January 2021.
We relate the problem of best low-rank approximation in the spectral norm for a matrix $A$ to Kolmogorov $n$-widths and corresponding optimal spaces. We characterize all the optimal spaces for the image of the Euclidean unit ball under $A$, and we show that any orthonormal basis in an $n$-dimensional optimal space generates a best rank-$n$ approximation to $A$. We also present a simple and explicit construction to obtain a sequence of optimal $n$-dimensional spaces once an initial optimal space is known. This results in a variety of solutions to the best low-rank approximation problem and provides alternatives to the truncated singular value decomposition. This variety can be exploited to obtain best low-rank approximations with problem-oriented properties.

中文翻译：

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最佳低秩近似和 Kolmogorov $n$-widths

SIAM 矩阵分析与应用杂志，第 42 卷，第 1 期，第 330-350 页，2021 年 1 月。
我们将矩阵 $A$ 的谱范数中的最佳低秩逼近问题与 Kolmogorov $n$-widths 和相应的最优空间联系起来。我们在 $A$ 下表征了欧几里得单位球的图像的所有最佳空间，并且我们证明 $n$ 维最佳空间中的任何正交基都会生成 $A$ 的最佳秩 -$n$ 近似值。我们还提出了一个简单而明确的构造，以在初始最优空间已知后获得一系列最优 $n$ 维空间。这导致了最佳低秩逼近问题的各种解决方案，并提供了截断奇异值分解的替代方案。可以利用这种多样性来获得具有面向问题属性的最佳低秩近似。