SIAM Journal on Computing, Ahead of Print.
Assume that for every derandomization result for logspace algorithms, there is a pseudorandom generator strong enough to nearly recover the derandomization by iterating over all seeds and taking a majority vote. We prove under a precise version of this assumption that ${BPL} \subseteq \bigcap_{\alpha > 0} {DSPACE}(\log^{1 + \alpha} n)$. We strengthen the theorem to an equivalence by considering two generalizations of the concept of a pseudorandom generator against logspace. A targeted pseudorandom generator against logspace takes as input a short uniform random seed and a finite automaton; it outputs a long bitstring that looks random to that particular automaton. A simulation advice generator for logspace stretches a small uniform random seed into a long advice string; the requirement is that there is some logspace algorithm that, given a finite automaton and this advice string, simulates the automaton reading a long uniform random input. We prove that $\bigcap_{\alpha > 0} {promise}-{BPSPACE}(\log^{1 + \alpha} n) = \bigcap_{\alpha > 0} {promise}-{DSPACE}(\log^{1 + \alpha} n)$ if and only if for every targeted pseudorandom generator against logspace, there is a simulation advice generator for logspace with similar parameters. Finally, we observe that in a certain uniform setting (namely, if we only worry about sequences of automata that can be generated in logspace), targeted pseudorandom generators against logspace can be transformed into simulation advice generators with similar parameters.

中文翻译：

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目标伪随机生成器、模拟建议生成器和对数空间去随机化

SIAM 计算杂志，超前印刷。
假设对于对数空间算法的每个去随机化结果，有一个伪随机生成器足够强大，可以通过迭代所有种子并采取多数投票来几乎恢复去随机化。我们在这个假设的精确版本下证明 ${BPL} \subseteq \bigcap_{\alpha > 0} {DSPACE}(\log^{1 + \alpha} n)$。我们通过考虑伪随机生成器概念对对数空间的两个推广，将定理强化为等价。针对对数空间的目标伪随机生成器将短的均匀随机种子和有限自动机作为输入；它输出一个长位串，对于那个特定的自动机来说看起来是随机的。日志空间的模拟建议生成器将一个小的均匀随机种子拉伸成一个长的建议字符串；要求是有一些日志空间算法，给定一个有限自动机和这个建议字符串，模拟自动机读取一个长的均匀随机输入。我们证明 $\bigcap_{\alpha > 0} {promise}-{BPSPACE}(\log^{1 + \alpha} n) = \bigcap_{\alpha > 0} {promise}-{DSPACE}(\log ^{1 + \alpha} n)$ 当且仅当对于每个针对对数空间的目标伪随机生成器，都有一个模拟建议生成器用于具有相似参数的对数空间。最后，我们观察到在某个统一的设置下（即，如果我们只担心可以在对数空间中生成的自动机序列），针对对数空间的目标伪随机生成器可以转换为具有相似参数的模拟建议生成器。0} {promise}-{BPSPACE}(\log^{1 + \alpha} n) = \bigcap_{\alpha > 0} {promise}-{DSPACE}(\log^{1 + \alpha} n)$当且仅当对于每个针对 logspace 的目标伪随机生成器，都有一个模拟建议生成器用于具有相似参数的 logspace。最后，我们观察到在某个统一的设置下（即，如果我们只担心可以在对数空间中生成的自动机序列），针对对数空间的目标伪随机生成器可以转换为具有相似参数的模拟建议生成器。0} {promise}-{BPSPACE}(\log^{1 + \alpha} n) = \bigcap_{\alpha > 0} {promise}-{DSPACE}(\log^{1 + \alpha} n)$当且仅当对于每个针对 logspace 的目标伪随机生成器，都有一个模拟建议生成器用于具有相似参数的 logspace。最后，我们观察到在某个统一的设置下（即，如果我们只担心可以在对数空间中生成的自动机序列），针对对数空间的目标伪随机生成器可以转换为具有相似参数的模拟建议生成器。