We obtain some results on Ulam stability for the linear difference equation $$x_{n+1}=a_nx_n+b_n,\, n\geq0$$ , in a Banach space X. If there exists $$\lim_{n\to\infty}|a_n|=\lambda$$ , then the equation is Ulam stable if and only if $$\lambda\neq 1$$ . Moreover if $$(|a_n|)_{n\geq 0}$$ is a monotone sequence, then the best Ulam constant of the equation is $$\frac{1}{|\lambda-1|}$$ .

中文翻译：

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Banach空间中一阶线性差分方程的最佳Ulam常数

我们在 Banach 空间 X 中得到线性差分方程 $$x_{n+1}=a_nx_n+b_n,\, n\geq0$$ 的一些 Ulam 稳定性结果。如果存在 $$\lim_{n\to \infty}|a_n|=\lambda$$ ，则方程是 Ulam 稳定当且仅当 $$\lambda\neq 1$$ 。此外，如果 $$(|a_n|)_{n\geq 0}$$ 是一个单调序列，那么方程的最佳乌拉姆常数是 $$\frac{1}{|\lambda-1|}$$ 。