Let $$n, \ell$$ be positive integers, $$n > 2\ell + 1$$ . Let X be an n-element set and $$\mathcal{F}$$ an antichain, $$\mathcal{F} \subset 2^X$$ . Kiselev, Kupavskii and Patkos conjectured that if $$|F\cup G| \leq 2\ell + 1$$ for all $$F, G \in \mathcal{F}$$ then the minimum degree of $$\mathcal{F}$$ is no more than $${n - 1\choose \ell - 1}$$ , the minimum degree of $${[n]\choose \ell}$$ . We prove this conjecture for $$n \geq \ell^3 + \ell^2 + \frac32 \ell$$ and solve the analogous problem for the case $$|F \cap G| \geq t$$ .

中文翻译：

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交叉反链的最小程度和多样性

令 $$n, \ell$$ 为正整数， $$n > 2\ell + 1$$ 。设 X 是一个 n 元素集， $$\mathcal{F}$$ 是一个反链， $$\mathcal{F} \subset 2^X$$ 。Kiselev、Kupavskii 和 Patkos 推测如果 $$|F\cup G| \leq 2\ell + 1$$ 对于所有 $$F, G \in \mathcal{F}$$ 那么 $$\mathcal{F}$$ 的最小度数不超过 $${n - 1\选择 \ell - 1}$$ ，$${[n]\choose \ell}$$ 的最小度数。我们证明了 $$n \geq \ell^3 + \ell^2 + \frac32 \ell$$ 的这个猜想，并解决了 $$|F \cap G| 的类似问题 \geq t$$ 。