Let $(M^n,g)$ be a closed Riemannian manifold of dimension $n\ge 3$. We study the variational properties of the $k$th eigenvalue functional $\tilde{g}\in \left[g\right]\mapsto {\lambda }_k\left(L_{\tilde{g}}\right)$ under a non-volume normalization proposed by Sire–Xu. We discuss necessary conditions for the existence of extremal eigenvalues under such normalization. Also, we discuss the general existence problem when $k=1$.

中文翻译：

---

Sire-Xu归一化下共形拉普拉斯算子的极值特征值

让 $（{\mathrm{中号}}^{ñ}，G）$ 成为维的封闭黎曼流形 $ñ\ge 3$。我们研究了$ķ$特征值函数 $\tilde{G}\in \left[G\right]\mapsto {\lambda }_{ķ}（{\mathrm{大号}}_{\tilde{G}}）$在Sire–Xu提出的非体积归一化条件下。我们讨论了在这种归一化下存在极值特征值的必要条件。另外，我们讨论了普遍存在的问题$ķ=\mathrm{1个}$。