In this paper we give a simple proof of an estimate for Bessel potentials acting on Lorentz spaces in the supercritical exponent: let \(1<p=\frac{d}{\alpha -1}\) and \(1 \le q \le + \infty \). If \(f\in L^{p,q}({\mathbb {R}}^d)\), then there exists a constant \(C =C(\alpha ,d , p,q)\) such that

$$ \vert g_{\alpha }*f(x)- g_{\alpha }*f(z) \vert \le C \vert x-z \vert \left(|\ln (|x-z|)| +1 \right)^{\frac{1}{q'}} \Vert f \Vert _{L^{p,q}}. $$

中文翻译：

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洛伦兹空间上贝塞尔势的超临界估计

在本文中，我们给出了一个对超临界指数中作用于Lorentz空间的贝塞尔势的估计的简单证明：让\（1 <p = \ frac {d} {\ alpha -1} \）和\（1 \ le q \ le + \ infty \）。如果\（f \ in L ^ {p，q}（{\ mathbb {R}} ^ d）\），则存在一个常数\（C = C（\ alpha，d，p，q）\）这样那

$$ \ vert g _ {\ alpha} * f（x）-g _ {\ alpha} * f（z）\ vert \ le C \ vert xz \ vert \ left（| \ ln（| xz |）| +1 \右）^ {\ frac {1} {q'}} \ Vert f \ Vert _ {L ^ {p，q}}。$$