The Gauss circle problem concerns the difference $P_2\left(n\right)$ between the area of a circle of radius $\sqrt{n}$ and the number of lattice points it contains. In this paper, we study the Dirichlet series with coefficients $P_2{\left(n\right)}^2$, and prove that this series has meromorphic continuation to $ℂ$. Using this series, we prove that the Laplace transform of $P_2{\left(n\right)}^2$ satisfies ${\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }{P}_2{\left(t\right)}^2{e}^{-t∕X}dt=C{X}^{3∕2}-X+O\left(X^{1∕2+𝜖}\right)$, which gives a power-savings improvement to a previous result of Ivić (1996).

Similarly, we study the meromorphic continuation of the Dirichlet series associated to the correlations $r_2\left(n+h\right)r_2\left(n\right)$, where $h$ is fixed and $r_2\left(n\right)$ denotes the number of representations of $n$ as a sum of two squares. We use this Dirichlet series to prove asymptotics for ${\sum }_{n\ge 1}{r}_2\left(n+h\right)r_2\left(n\right)e^{-n∕X}$, and to provide an additional evaluation of the leading coefficient in the asymptotic for ${\sum }_{n\le X}{r}_2\left(n+h\right)r_2\left(n\right)$.

高斯圆问题关注差异 $P_{\mathrm{2个}}（ñ）$ 半径范围内的圆之间 $\sqrt{ñ}$以及它包含的晶格点数。在本文中，我们研究具有系数的Dirichlet级数$P_{\mathrm{2个}}{（ñ）}^{\mathrm{2个}}$，并证明该级数具有亚纯连续性 $ℂ$。使用该系列，我们证明了Laplace变换的$P_{\mathrm{2个}}{（ñ）}^{\mathrm{2个}}$ 满足 ${\int \; <!--nolimits-->}_0^{\infty }{P}_{\mathrm{2个}}{（Ť）}^{\mathrm{2个}}{Ë}^{-Ť∕X}dŤ=C{X}^{3∕\mathrm{2个}}-X+Ø（X^{\mathrm{1个}∕\mathrm{2个}+𝜖}）$，它对Ivić（1996）的先前结果进行了节电改进。

同样，我们研究与相关性相关的Dirichlet级数的亚纯连续性 ${\mathrm{[R}}_{\mathrm{2个}}（ñ+H）{\mathrm{[R}}_{\mathrm{2个}}（ñ）$， 在哪里 $H$ 是固定的 ${\mathrm{[R}}_{\mathrm{2个}}（ñ）$ 表示的表示数量 $ñ$两个平方之和 我们使用这个Dirichlet系列来证明渐近性${\sum }_{ñ\ge \mathrm{1个}}{\mathrm{[R}}_{\mathrm{2个}}（ñ+H）{\mathrm{[R}}_{\mathrm{2个}}（ñ）{Ë}^{-ñ∕X}$，并提供对渐近项中的前导系数的附加评估 ${\sum }_{ñ\le X}{\mathrm{[R}}_{\mathrm{2个}}（ñ+H）{\mathrm{[R}}_{\mathrm{2个}}（ñ）$。