SIAM Journal on Mathematical Analysis, Volume 53, Issue 2, Page 1263-1294, January 2021.
This is a continuation and an extension of our recent work [J. Math. Pures Appl., 143 (2020), pp. 116--161] on the geometric structures of Laplacian eigenfunctions and their applications to inverse scattering problems. In that work, we studied the analytic behavior of the Laplacian eigenfunctions at a point where two nodal or generalized singular lines intersect. The results reveal an important and intriguing property that the vanishing order of the eigenfunction at the intersecting point is closely related to the rationality of the intersecting angle. In this paper, we continue this development in three dimensions and study the analytic behaviors of the Laplacian eigenfunctions at places where nodal or generalized singular planes intersect. Compared with the two-dimensional case, the geometric situation is much more complicated, and so is the corresponding analysis: the intersection of two planes generates an edge corner, whereas the intersection of more than three planes generates a vertex corner. We provide a systematic and comprehensive characterization of the relations between the analytic behaviors of an eigenfunction at a corner point and the geometric quantities of that corner for all these geometric cases. Moreover, we apply the spectral results to establish some novel unique identifiability results for the geometric inverse problems of recovering the shape as well as the (possible) surface impedance coefficient by the associated scattering far-field measurements.

中文翻译：

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$ \ mathbb {R} ^ 3 $中Laplacian特征函数的新颖几何结构及其在反问题中的应用

SIAM数学分析杂志，第53卷，第2期，第1263-1294页，2021年1月。
这是我们最近工作的延续和扩展。数学。Pures Appl。，143（2020），pp。116--161]有关拉普拉斯特征函数的几何结构及其在逆散射问题中的应用。在这项工作中，我们研究了两个节点或广义奇异线相交的点的拉普拉斯特征函数的解析行为。结果揭示了一个重要而有趣的特性，即本征函数在相交点处的消失顺序与相交角的合理性密切相关。在本文中，我们将在三个维度上继续这一发展，并研究在节点或广义奇异平面相交处的拉普拉斯特征函数的解析行为。与二维情况相比，几何情况要复杂得多，相应的分析也是如此：两个平面的相交产生一个边角，而三个以上平面的相交产生一个顶点角。对于所有这些几何情况，我们对拐点处的本征函数的解析行为与该拐角的几何量之间的关系进行了系统，全面的表征。此外，我们应用光谱结果为通过相关的散射远场测量恢复形状以及（可能的）表面阻抗系数的几何反问题建立了一些新颖的独特的可识别性结果。对于所有这些几何情况，我们对拐点处的本征函数的解析行为与该拐角的几何量之间的关系进行了系统，全面的表征。此外，我们应用光谱结果为通过相关的散射远场测量恢复形状以及（可能的）表面阻抗系数的几何反问题建立了一些新颖的独特的可识别性结果。对于所有这些几何情况，我们对拐点处的本征函数的解析行为与该拐角的几何量之间的关系进行了系统，全面的表征。此外，我们应用光谱结果为通过相关的散射远场测量恢复形状以及（可能的）表面阻抗系数的几何反问题建立了一些新颖的独特的可识别性结果。