In 2019, Grafakos and Stockdale introduced an \(L^q\) mean Hörmander condition and proved a “limited-range” Calderón–Zygmund theorem. Comparing their theorem with the classical one, it requires weaker assumptions and implies the \(L^p\) boundedness for the “limited-range” instead of \(1< p < \infty \). However, in this paper, we show that the \(L^q\) mean Hörmander condition is actually enough to obtain the \(L^p\) boundedness for all \(1< p < \infty \) even in the worst case \(q=1\). We use a similar method to that used by Fefferman (Acta Math 124:9–36, 1970): form the Calderón–Zygmund decomposition with the bounded overlap property and approximate the bad part. Also we give a criterion of the \(L^2\) boundedness for convolution type singular integral operators under the \(L^1\) mean Hörmander condition.

在2019年，格拉法科斯（Grafakos）和斯托克代尔（ Stockdale）引入了Hörmander平均条件（L ^ q \），并证明了“有限范围”卡尔德龙-齐格蒙德定理。将其定理与经典定理进行比较，它需要较弱的假设，并暗示了“有限范围”的\（L ^ p \）有界性，而不是\（1 <p <\ infty \）。但是，在本文中，我们证明即使在最坏的情况下，\（L ^ q \）平均Hörmander条件实际上足以获得所有\（1 <p <\ infty \）的\（L ^ p \）有界情况\（q = 1 \）。我们使用的方法与费弗曼（Fefferman，Acta Math 124：9–36，1970）使用的方法类似：形成具有有界重叠属性的Calderón-Zygmund分解并近似不良部分。此外，我们得到的标准\（L ^ 2 \）有界卷积型奇异积分算下\（L ^ 1 \）平均Hörmander条件。