In this paper, we study the solution theory in the Sobolev space for the nonlinear differential equation: $D_t^{n}y\left(t\right)=f(t,y),n\ge 1$ with given initial values $D_t^{k}y\left(0\right)=d_k,k=0,1,\dots ,n-1,n\ge 1$. By assuming that function $f(t,y)\in L_p(0,b)$ and $t^{\beta }f(t,y)$ is continuous with respect to $y$ where $p>1$ and $0\le \beta <1$, we prove that this problem admits a solution in space $W_p^n(0,b)$ and the solution is absolutely stable in the $L_{\infty }$-norm. Moreover, if $t^{\beta }f(t,y)$ satisfies the Lipschitz condition on variable $y$, then the solution is unique. Our unique existence conditions allow that $f(t,y)$ is nonsmooth or discontinuous for $t\in [0,b]$. Several examples are provided to illustrate our theoretical analysis.

在本文中，我们研究Sobolev空间中非线性微分方程的解理论： $d_{Ť}^{ñ}ÿ（Ť）=F（Ť，ÿ），ñ\ge \mathrm{1个}$ 具有给定的初始值 $d_{Ť}^{ķ}ÿ（0）=d_{ķ}，ķ=0，\mathrm{1个}，\dots ，ñ-\mathrm{1个}，ñ\ge \mathrm{1个}$。通过假设该功能$F（Ť，ÿ）\in {\mathrm{大号}}_p（0，b）$ 和 ${Ť}^{\beta }F（Ť，ÿ）$ 关于 $ÿ$ 在哪里 $p>\mathrm{1个}$ 和 $0\le \beta <\mathrm{1个}$，我们证明这个问题可以解决太空问题 ${\mathrm{w\; ^}}_p^{ñ}（0，b）$ 该解决方案在以下方面绝对稳定 ${\mathrm{大号}}_{\infty }$-规范。而且，如果${Ť}^{\beta }F（Ť，ÿ）$ 满足Lipschitz条件上的变量 $ÿ$，那么解决方案是唯一的。我们独特的生存条件使$F（Ť，ÿ）$ 是不光滑或不连续的 $Ť\in [0，b]$。提供了几个例子来说明我们的理论分析。