SIAM Journal on Computing, Volume 50, Issue 1, Page 211-254, January 2021.
We initiate the study of computing (near-)optimal contracts in succinctly representable principal-agent settings. Here optimality means maximizing the principal's expected payoff over all incentive-compatible contracts---known in economics as “second-best” solutions. We also study a natural relaxation to approximately incentive-compatible contracts. We focus on principal-agent settings with succinctly described (and exponentially large) outcome spaces. We show that the computational complexity of computing a near-optimal contract depends fundamentally on the number of agent actions. For settings with a constant number of actions, we present a fully polynomial-time approximation scheme (FPTAS) for the separation oracle of the dual of the problem of minimizing the principal's payment to the agent, and we use this subroutine to efficiently compute a $\delta$-incentive-compatible ($\delta$-IC) contract whose expected payoff matches or surpasses that of the optimal IC contract. With an arbitrary number of actions, we prove that the problem is hard to approximate within any constant $c$. This inapproximability result holds even for $\delta$-IC contracts where $\delta$ is a sufficiently rapidly-decaying function of $c$. On the positive side, we show that simple linear $\delta$-IC contracts with constant $\delta$ are sufficient to achieve a constant-factor approximation of the “first-best” (full-welfare-extracting) solution, and that such a contract can be computed in polynomial time.

中文翻译：

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合同的复杂性

SIAM Journal on Computing，第 50 卷，第 1 期，第 211-254 页，2021 年 1 月。
我们开始研究在简洁可表示的委托代理设置中计算（接近）最优合同。这里的最优意味着最大化委托人对所有激励兼容合同的预期收益——在经济学中被称为“次优”解决方案。我们还研究了近似激励兼容合同的自然放松。我们专注于具有简洁描述（和指数级大）结果空间的委托代理设置。我们表明，计算接近最优合约的计算复杂度从根本上取决于代理动作的数量。对于具有恒定动作数量的设置，我们提出了一个完全多项式时间近似方案（FPTAS），用于最小化委托人对代理的付款问题的对偶的分离预言，我们使用这个子程序来有效地计算一个 $\delta$-incentive-compatible ($\delta$-IC) 合约，其预期收益匹配或超过最优 IC 合约的收益。通过任意数量的动作，我们证明这个问题很难在任何常数 $c$ 内近似。即使对于 $\delta$-IC 合约，这种不可近似性的结果也是成立的，其中 $\delta$ 是一个足够快速衰减的 $c$ 函数。从积极的方面来看，我们表明具有常数 $\delta$ 的简单线性 $\delta$-IC 合约足以实现“第一最佳”（全福利提取）解决方案的常数因子近似值，并且这样的合约可以在多项式时间内计算。通过任意数量的动作，我们证明这个问题很难在任何常数 $c$ 内近似。即使对于 $\delta$-IC 合约，这种不可近似性的结果也是成立的，其中 $\delta$ 是一个足够快速衰减的 $c$ 函数。从积极的方面来看，我们表明具有常数 $\delta$ 的简单线性 $\delta$-IC 合约足以实现“第一最佳”（全福利提取）解决方案的常数因子近似值，并且这样的合约可以在多项式时间内计算。通过任意数量的动作，我们证明这个问题很难在任何常数 $c$ 内近似。即使对于 $\delta$-IC 合约，这种不可近似性的结果也是成立的，其中 $\delta$ 是一个足够快速衰减的 $c$ 函数。从积极的方面来看，我们表明具有常数 $\delta$ 的简单线性 $\delta$-IC 合约足以实现“第一最佳”（全福利提取）解决方案的常数因子近似值，并且这样的合约可以在多项式时间内计算。