We consider topological dynamical systems $(X,T)$, where $X$ is a compact metrizable space and $T$ denotes an action of a countable amenable group $G$ on $X$ by homeomorphisms. For two such systems $(X,T)$ and $(Y,S)$ and a factor map $\pi :X\to Y$, an intermediate factor is a topological dynamical system $(Z,R)$ for which $\pi$ can be written as a composition of factor maps $\psi :X\to Z$ and $\phi :Z\to Y$. In this paper, we show that for any countable amenable group $G$, for any $G$-subshifts $(X,T)$ and $(Y,S)$, and for any factor map $\pi :X\to Y$, the set of entropies of intermediate subshift factors is dense in the interval $[h(Y,S),h(X,T)]$. As a corollary, we also prove that if $(X,T)$ and $(Y,S)$ are zero-dimensional $G$-systems, then the set of entropies of intermediate zero-dimensional factors is equal to the interval $[h(Y,S),h(X,T)]$. Our proofs rely on a generalized Marker Lemma that may be of independent interest.

中文翻译：

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中间因子熵的普遍性

我们考虑拓扑动力系统 $(X,吨)$， 在哪里 $X$ 是一个紧凑的可计量空间，并且 $吨$ 表示可数服从组的动作 $G$ 在 $X$通过同胚。对于两个这样的系统$(X,吨)$ 和 $(是,秒)$ 和因子图 $\pi ：X\to 是$，中间因素是拓扑动力系统 $(Z,\mathrm{电阻})$ 为此 $\pi$ 可以写成因子映射的组合 $\psi ：X\to Z$ 和 $\phi ：Z\to 是$. 在本文中，我们证明了对于任何可数服从组$G$，对于任何 $G$-subshifts $(X,吨)$ 和 $(是,秒)$，对于任何因子映射 $\pi ：X\to 是$，中间子位移因子的熵集在区间内是稠密的 $[H(是,秒),H(X,吨)]$. 作为推论，我们还证明，如果$(X,吨)$ 和 $(是,秒)$ 是零维的 $G$-systems，则中间零维因子的熵集等于区间 $[H(是,秒),H(X,吨)]$. 我们的证明依赖于可能具有独立意义的广义标记引理。