We propose a generalized Eulerian-Lagrangian (GEL) discontinuous Galerkin (DG) method. The method is a generalization of the Eulerian-Lagrangian (EL) DG method for transport problems proposed in [arXiv preprint arXiv: 2002.02930 (2020)], which tracks solution along approximations to characteristics in the DG framework, allowing extra large time stepping size with stability. The newly proposed GEL DG method in this paper is motivated for solving linear hyperbolic systems with variable coefficients, where the velocity field for adjoint problems of the test functions is frozen to constant. In this paper, in a simplified scalar setting, we propose the GEL DG methodology by freezing the velocity field of adjoint problems, and by formulating the semi-discrete scheme over the space-time region partitioned by linear lines approximating characteristics. The fully-discrete schemes are obtained by method-of-lines Runge-Kutta methods. We further design flux limiters for the schemes to satisfy the discrete geometric conservation law (DGCL) and maximum principle preserving (MPP) properties. Numerical results on 1D and 2D linear transport problems are presented to demonstrate great properties of the GEL DG method. These include the high order spatial and temporal accuracy, stability with extra large time stepping size, and satisfaction of DGCL and MPP properties.

中文翻译：

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运输问题的广义欧拉-拉格朗日间断Galerkin方法

我们提出了广义欧拉-拉格朗日（GEL）不连续伽勒金（DG）方法。该方法是[arXiv预印本arXiv：2002.02930（2020）]中提出的针对运输问题的欧拉-拉格朗日（EL）DG方法的概括，该方法沿DG框架中的特征近似跟踪解决方案，从而允许较大的时间步长稳定。本文新提出的GEL DG方法是用于求解变系数线性双曲系统，其中将测试函数的伴随问题的速度场冻结为常数。本文在简化的标量环境中，通过冻结伴随问题的速度场，并通过用线性直线近似特征划分的时空区域制定半离散方案，提出了GEL DG方法。完全离散方案是通过在线方法Runge-Kutta方法获得的。我们进一步为这些方案设计通量限制器，以满足离散几何守恒定律（DGCL）和最大原理保留（MPP）属性。给出了关于一维和二维线性传输问题的数值结果，以证明GEL DG方法的卓越性能。其中包括高阶空间和时间精度，具有超大时间步长的稳定性以及对DGCL和MPP属性的满足。给出了关于一维和二维线性传输问题的数值结果，以证明GEL DG方法的卓越性能。其中包括高阶空间和时间精度，具有超大时间步长的稳定性以及对DGCL和MPP属性的满足。给出了关于一维和二维线性传输问题的数值结果，以证明GEL DG方法的卓越性能。其中包括高阶空间和时间精度，具有超大时间步长的稳定性以及对DGCL和MPP属性的满足。