This paper investigates the low-rank matrix completion (LRMC) problem from a generic view. Unlike most existing work which focused on numerically recovering exact or approximate missing matrix entries from the observed ones, the only available information herein is the pattern (structure) of observed/missing entries, and the observed entries are classified into two types, namely, fixed zero entries and unknown generic entries. The problem is whether there exists a matrix completion with a prescribed rank r for almost all values of the unknown generic entries except for a set of zero measure, which is called the generic low-rank matrix completion (GLRMC) problem. We first justify the existence of genericity in the complex field for this problem, that is, depending on the pattern of observed/missing entries, for almost all values of the unknown generic entries, either the answer to that problem is yes, or the answer is no. We then provide necessary and sufficient conditions for the feasibility of the GLRMC with the constraint that the rank of the completion reduces at least one. Afterward, we provide a sufficient condition and a necessary condition (which we conjecture to be sufficient) for the general case. Based on them, two randomized algorithms are proposed to determine upper and lower bounds for the generic minimum rank of the matrix completions. Our approaches are based on the algebraic geometry theory and the basis preservation principle discovered herein. Finally, numerical experiments are given to corroborate the theoretical findings and the effectiveness of the proposed algorithms.

中文翻译：

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关于一般低秩矩阵完成问题

本文从一般角度研究了低秩矩阵完成（LRMC）问题。与大多数现有的工作侧重于从观察到的数值上准确或近似丢失的矩阵条目进行数值计算不同，本文唯一可用的信息是观察/缺失条目的模式（结构），并且观察到的条目分为两种类型，即固定的零条目和未知的通用条目。问题在于，除了一组零度量外，是否存在针对未知通用条目的几乎所有值的具有预定秩r的矩阵完成，这称为通用低秩矩阵完成（GLRMC）问题。首先，我们针对此问题在复杂领域中存在通用性，即根据观察/缺失条目的模式，对于未知通用条目的几乎所有值，该问题的答案是肯定的，或者答案是否定的。然后，我们为GLRMC的可行性提供了必要和充分的条件，但条件是完成等级至少会降低一个。之后，我们为一般情况提供了一个充分条件和一个必要条件（我们猜想是足够的）。基于它们，提出了两种随机算法来确定矩阵补全的一般最小等级的上限和下限。我们的方法基于代数几何理论和此处发现的基本保存原理。最后，进行了数值实验，以验证理论结果和所提出算法的有效性。或答案是否定的。然后，我们为GLRMC的可行性提供了必要和充分的条件，但条件是完成等级至少会降低一个。之后，我们为一般情况提供了一个充分条件和一个必要条件（我们猜想是足够的）。基于它们，提出了两种随机算法来确定矩阵补全的一般最小等级的上限和下限。我们的方法基于代数几何理论和此处发现的基本保存原理。最后，通过数值实验证实了所提算法的理论发现和有效性。或答案是否定的。然后，我们为GLRMC的可行性提供了必要和充分的条件，但条件是完成等级至少会降低一个。之后，我们为一般情况提供了一个充分条件和一个必要条件（我们猜想是足够的）。基于它们，提出了两种随机算法来确定矩阵补全的一般最小等级的上限和下限。我们的方法基于代数几何理论和此处发现的基本保存原理。最后，进行了数值实验，以验证理论结果和所提出算法的有效性。然后，我们为GLRMC的可行性提供了必要和充分的条件，但条件是完成等级至少会降低一个。之后，我们为一般情况提供了一个充分条件和一个必要条件（我们猜想是足够的）。基于它们，提出了两种随机算法来确定矩阵补全的一般最小等级的上限和下限。我们的方法基于代数几何理论和此处发现的基本保存原理。最后，进行了数值实验，以验证理论结果和所提出算法的有效性。然后，我们为GLRMC的可行性提供了必要和充分的条件，但条件是完成等级至少会减少一个。之后，我们为一般情况提供了一个充分条件和一个必要条件（我们猜想是足够的）。基于它们，提出了两种随机算法来确定矩阵补全的一般最小等级的上限和下限。我们的方法基于代数几何理论和此处发现的基本保存原理。最后，通过数值实验证实了所提算法的理论发现和有效性。提出了两种随机算法来确定矩阵补全的一般最小等级的上限和下限。我们的方法基于代数几何理论和此处发现的基本保存原理。最后，通过数值实验证实了所提算法的理论发现和有效性。提出了两种随机算法来确定矩阵补全的一般最小等级的上限和下限。我们的方法基于代数几何理论和此处发现的基本保存原理。最后，进行了数值实验，以验证理论结果和所提出算法的有效性。