We consider the following noncoercive functional with the critical Sobolev exponent $I(u)=\frac{1}{2}{\int }_{\mathrm{\Omega }}\frac{1}{(1+|u|{)}^{2\alpha }}|\mathrm{\nabla }u{|}^2\mathrm{d}x-\frac{\lambda }{q}{\int }_{\mathrm{\Omega }}|u{|}^q\mathrm{d}x-\frac{1}{2^{\ast }(1-\alpha )}{\int }_{\mathrm{\Omega }}|u{|}^{2^{\ast }(1-\alpha )}\mathrm{d}x,$where $\lambda >0$, $0<\alpha <(N+2)/2N$, $2<q<2^{\ast }(1-\alpha )$, $2^{\ast }=2N/(N-2)$. We prove the existence of a nontrivial critical point via the mountain pass theorem and the multiplicity via Clark's theorem.

中文翻译：

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具有临界 Sobolev 指数的非强制泛函临界点的存在

我们考虑以下具有关键 Sobolev 指数的非强制泛函$我(你)=\frac{1}{2}{\int }_{\mathrm{\Omega }}\frac{1}{(1+|你|{)}^{2\alpha }}|\mathrm{\nabla }你{|}^2\mathrm{d}X-\frac{\lambda }{q}{\int }_{\mathrm{\Omega }}|你{|}^q\mathrm{d}X-\frac{1}{2^{*}(1-\alpha )}{\int }_{\mathrm{\Omega }}|你{|}^{2^{*}(1-\alpha )}\mathrm{d}X,$在哪里$\lambda >0$,$0<\alpha <(ñ+2)/2ñ$,$2<q<2^{*}(1-\alpha )$,$2^{*}=2ñ/(ñ-2)$. 我们通过山口定理证明了非平凡临界点的存在，并通过克拉克定理证明了多重性。