For every positive integer N and every $\alpha \in [0,1)$, let $B(N,\alpha )$ denote the probabilistic model in which a random set $A\subset \{1,\dots ,N\}$ is constructed by choosing independently every element of $\{1,\dots ,N\}$ with probability α. We prove that, as $N⟶+\infty$, for every A in $B(N,\alpha )$ we have $|AA|\sim |A{|}^2/2$ with probability $1-o(1)$, if and only if$\frac{\log ({\alpha }^2{(\log N)}^{\log 4-1})}{\sqrt{\log \log N}}⟶-\infty .$ This improves on a theorem of Cilleruelo, Ramana and Ramaré, who proved the above asymptotic between $|AA|$ and $|A{|}^2/2$ when $\alpha =o(1/\sqrt{\log N})$, and supplies a complete characterization of maximal product sets of random sets.

中文翻译：

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关于随机集的最大乘积集

对于每个正整数N和每个$\alpha \in [0，\mathrm{1个}）$， 让 $乙（ñ，\alpha ）$ 表示其中随机集的概率模型 $\mathrm{一种}\subset \{\mathrm{1个}，\dots ，ñ\}$ 通过独立选择 $\{\mathrm{1个}，\dots ，ñ\}$概率为α。我们证明$ñ⟶+\infty$，对于每个A in$乙（ñ，\alpha ）$ 我们有 $|\mathrm{一种}\mathrm{一种}|〜|\mathrm{一种}{|}^2/2$ 很有可能 $\mathrm{1个}-Ø（\mathrm{1个}）$，当且仅当$\frac{\mathrm{日志}（{\alpha }^2{（\mathrm{日志}ñ）}^{\mathrm{日志}4-\mathrm{1个}}）}{\sqrt{\mathrm{日志}\mathrm{日志}ñ}}⟶-\infty 。$ 这在Cilleruelo，Ramana和Ramaré的一个定理上有所改进，他们证明了上述之间的渐近性 $|\mathrm{一种}\mathrm{一种}|$ 和 $|\mathrm{一种}{|}^2/2$ 什么时候 $\alpha =Ø（\mathrm{1个}/\sqrt{\mathrm{日志}ñ}）$，并提供了随机集的最大乘积集的完整表征。