We obtain asymptotic formulas with remainder terms for the hyperbolic summations \(\sum _{mn\le x} f((m,n))\) and \(\sum _{mn\le x} f([m,n])\), where f belongs to certain classes of arithmetic functions, (m, n) and [m, n] denoting the gcd and lcm of the integers m, n. In particular, we investigate the functions \(f(n)=\tau (n), \log n, \omega (n)\) and \(\Omega (n)\). We also define a common generalization of the latter three functions, and prove a corresponding result.

中文翻译：

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关于包含两个正整数的GCD和LCM的算术函数的某些和

我们为双曲求和\（\ sum _ {mn \ le x} f（（m，n））\）和\（\ sum _ {mn \ le x} f（[m，n ]）\），其中f属于某些算术函数类，（m，  n）和[ m，  n ]表示整数m，  n的gcd和lcm 。特别地，我们研究函数\（f（n）= \ tau（n），\ log n，\ omega（n）\）和\（\ Omega（n）\）。我们还定义了后三个函数的通用概括，并证明了相应的结果。