The group testing problem consists of determining a small set of defective items from a larger set of items based on tests on groups of items, and is relevant in applications such as medical testing, communication protocols, pattern matching, and many more. While rigorous group testing algorithms have long been known with runtime at least linear in the number of items, a recent line of works has sought to reduce the runtime to ${\rm poly}(k \log n)$, where $n$ is the number of items and $k$ is the number of defectives. In this paper, we present such an algorithm for non-adaptive probabilistic group testing termed {\em bit mixing coding} (BMC), which builds on techniques that encode item indices in the test matrix, while incorporating novel ideas based on erasure-correction coding. We show that BMC achieves asymptotically vanishing error probability with $O(k \log n)$ tests and $O(k^2 \cdot \log k \cdot \log n)$ runtime, in the limit as $n \to \infty$ (with $k$ having an arbitrary dependence on $n$). This closes a recently-proposed open problem of simultaneously achieving ${\rm poly}(k \log n)$ decoding time using $O(k \log n)$ tests without any assumptions on $k$. In addition, we show that the same scaling laws can be attained in a commonly-considered noisy setting, in which each test outcome is flipped with constant probability.

中文翻译：

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通过位混合编码使用 O(klogn) 测试进行次线性时间非自适应组测试

组测试问题包括基于对项目组的测试从较大的项目集中确定一小组有缺陷的项目，并且与医学测试、通信协议、模式匹配等应用相关。虽然长期以来人们都知道严格的组测试算法的运行时间至少与项目数量呈线性关系，但最近的一系列工作试图将运行时间减少到 ${\rm poly}(k \log n)$，其中 $n$是物品的数量，$k$ 是缺陷品的数量。在本文中，我们提出了一种称为 {\em 比特混合编码} (BMC) 的非自适应概率组测试算法，该算法建立在对测试矩阵中的项目索引进行编码的技术之上，同时结合了基于擦除校正的新思想编码。我们表明 BMC 使用 $O(k \log n)$ 测试和 $O(k^2 \cdot \log k \cdot \log n)$ 运行时实现了渐近消失的错误概率，限制为 $n \to \ infty$（$k$ 对 $n$ 具有任意依赖关系）。这解决了最近提出的开放问题，即使用 $O(k \log n)$ 测试同时实现 ${\rm poly}(k \log n)$ 解码时间，而不对 $k$ 进行任何假设。此外，我们表明在通常考虑的嘈杂环境中可以获得相同的缩放定律，其中每个测试结果都以恒定概率翻转。这解决了最近提出的开放问题，即使用 $O(k \log n)$ 测试同时实现 ${\rm poly}(k \log n)$ 解码时间，而不对 $k$ 进行任何假设。此外，我们表明在通常考虑的嘈杂环境中可以获得相同的缩放定律，其中每个测试结果都以恒定概率翻转。这解决了最近提出的开放问题，即使用 $O(k \log n)$ 测试同时实现 ${\rm poly}(k \log n)$ 解码时间，而不对 $k$ 进行任何假设。此外，我们表明在通常考虑的嘈杂环境中可以获得相同的缩放定律，其中每个测试结果都以恒定概率翻转。