Assume ZF and the axiom of determinacy, AD. Almost everywhere [ω1]1 -club uniformization holds: Let clubω1 denote the collection of club subsets of ω1. Suppose R ⊆ [ω1]1 × clubω1 is ⊆-downward closed in the sense that for all σ ∈ [ω1]1 , for all clubs C ⊆ D, R(σ,D) implies R(σ,C). Then there is a club C ⊆ ω1 and a function F : dom(R)∩ [C]1 ∗ → clubω1 so that for all σ ∈ dom(R) ∩ [C]1 ∗ , R(σ, F (σ)). For every function Φ : [ω1]1 → ω1, there is a club C ⊆ ω1 so that Φ [C]1 ∗ is a continuous function. The following cardinal relation holds: |[ω1]1 | < |[ω1]1 |. If 〈Xα : α < ω1〉 is a collection of subsets of [ω1]1 with the property that ⋃ α<ω1 Xα = [ω1]1 , then there is an α < ω1 so that Xα and [ω1]1 are in bijection.

中文翻译：

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第一个不可数基数的可定义组合

假设 ZF 和确定性公理 AD。[ω1]1 -club 统一化几乎无处不在：令 clubω1 表示 ω1 的俱乐部子集的集合。假设 R ⊆ [ω1]1 × clubω1 是⊆向下封闭的，因为对于所有 σ ∈ [ω1]1 ，对于所有俱乐部 C ⊆ D，R(σ,D) 意味着 R(σ,C)。然后有一个俱乐部 C ⊆ ω1 和一个函数 F ： dom(R)∩ [C]1 ∗ → clubω1 使得对于所有 σ ∈ dom(R) ∩ [C]1 ∗ , R(σ, F (σ) ）。对于每个函数 Φ : [ω1]1 → ω1，存在一个俱乐部 C ⊆ ω1，因此 Φ [C]1 ∗ 是一个连续函数。以下基数关系成立：|[ω1]1 | < |[ω1]1 |。如果 <Xα : α < ω1> 是具有 ⋃ α<ω1 Xα = [ω1]1 性质的 [ω1]1 子集的集合，则存在 α < ω1，因此 Xα 和 [ω1]1 在双射。