For $p$ an odd prime number, $q_{0}=p^{t}$, and $q=p^{2t-1}$, let $\mathcal{X}_{\mathcal{G}_{\mathcal{S}}}$ be the nonsingular model of $$ Y^{q}-Y=X^{q_{0}}(X^{q}-X). $$ In the present work, the number of $\mathbb{F}_{q^{n}}$-rational points and the full automorphism group of $\mathcal{X}_{\mathcal{G}_{\mathcal{S}}}$ are determined. In addition, the L-polynomial of this curve is provided, and the number of $\mathbb{F}_{q^{n}}$-rational points on the Jacobian $J_{\mathcal{X}_{\mathcal{G}_{\mathcal{S}}}}$ is used to construct \'{e}tale covers of $\mathcal{X}_{\mathcal{G}_{\mathcal{S}}}$, some with many rational points.

中文翻译：

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关于广义铃木曲线的zeta函数和自同构群

对于 $p$ 一个奇素数，$q_{0}=p^{t}$，$q=p^{2t-1}$，令 $\mathcal{X}_{\mathcal{G}_ {\mathcal{S}}}$ 是 $$ Y^{q}-Y=X^{q_{0}}(X^{q}-X) 的非奇异模型。$$ 在目前的工作中，$\mathbb{F}_{q^{n}}$-有理点的个数和$\mathcal{X}_{\mathcal{G}_{\ mathcal{S}}}$ 是确定的。另外，给出了这条曲线的L-多项式，以及$\mathbb{F}_{q^{n}}$-Jacobian上的有理点数$J_{\mathcal{X}_{\mathcal {G}_{\mathcal{S}}}}$ 用于构造 $\mathcal{X}_{\mathcal{G}_{\mathcal{S}}}$ 的\'{e}故事封面，有些有很多合理的观点。