We consider nonnegative solutions of a semilinear heat equation $u_t-\mathrm{\Delta }u=u^p$ in ${\mathbf{R}}^N$ ($N\ge 3$) with $p=N/(N-2)$ and a nonnegative initial data $u_0\in L^{N/(N-2)}({\mathbf{R}}^N)$ which has a singularity at ${\xi }_0\in {\mathbf{R}}^N$. We prove that there exists $u_0$ such that, for any $\xi \in C^{\alpha }([0,\infty );{\mathbf{R}}^N)$ with $\alpha \in (1/2,1]$ and $\xi (0)={\xi }_0$, the problem admits a nonnegative solution $u_{\xi }\in C([0,T_{\xi }];L^{N/(N-2)}({\mathbf{R}}^N))$ for some $T_{\xi }$ with an explicit singular leading term for each $t\in [0,T_{\xi }]$ as $x\to \xi (t)$. Our result refines known counter examples for the uniqueness of the doubly critical case in view of pointwise behavior and complements known sufficient conditions on p for the existence of solutions with moving singularities.

我们考虑半线性热方程的非负解 ${ü}_{Ť}-\mathrm{\Delta }ü={ü}^p$ 在 ${\mathbf{[R}}^{ñ}$ （$ñ\ge 3$） 和 $p=ñ/（ñ-\mathrm{2个}）$ 和非负初始数据 ${ü}_0\in {\mathrm{大号}}^{ñ/（ñ-\mathrm{2个}）}（{\mathbf{[R}}^{ñ}）$ 在 ${\xi }_0\in {\mathbf{[R}}^{ñ}$。我们证明存在${ü}_0$ 这样，对于任何 $\xi \in C^{\alpha }（[0，\infty ）;{\mathbf{[R}}^{ñ}）$ 和 $\alpha \in （\mathrm{1个}/\mathrm{2个}，\mathrm{1个}]$ 和 $\xi （0）={\xi }_0$，问题允许采用非负解 ${ü}_{\xi }\in C（[0，{Ť}_{\xi }];{\mathrm{大号}}^{ñ/（ñ-\mathrm{2个}）}（{\mathbf{[R}}^{ñ}））$ 对于一些 ${Ť}_{\xi }$ 每个词都有一个明确的单数前置词 $Ť\in [0，{Ť}_{\xi }]$ 作为 $X\to \xi （Ť）$。考虑到逐点行为，我们的结果针对双临界情况的唯一性改进了已知的反例，并补充了p上已知的充分条件，以解决运动奇异性的存在。